直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productの基本きほん

1導入どうにゅう

直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productで最初さいしょに理解りかいすべきことは、「複数ふくすうの選択せんたくを順序じゅんじょつきで一ひとつの対象たいしょうobjectにする」操作そうさだという点てんである。$$A$$A から 1 つ、$$B$$B から 1 つ選えらんだ結果けっかを、単たんに $$a,b$$a,b と並ならべるのではなく、順序対じゅんじょついordered pair $$(a,b)$$(a,b) として記録きろくする。

この順序じゅんじょが重要じゅうようである。$$(a,b)$$(a,b) と $$(b,a)$$(b,a) は、一般いっぱんには別べつの対象たいしょうobjectである。したがって直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productは、関係かんけいrelation、写像しゃぞうmap、座標ざひょうcoordinate、状態空間じょうたいくうかんstate spaceの共通きょうつうの土台どだいになる。

順序対じゅんじょついordered pairでは成分せいぶんの順番じゅんばんが情報じょうほうの一部いちぶである。そのため、一般いっぱんに $$A\times B$$A\times B と $$B\times A$$B\times A は同おなじではなく、第だい 1 成分せいぶんと第だい 2 成分せいぶんの役割やくわりを区別くべつする。

2用語ようごと定義ていぎ

集合しゅうごうset $$A,B$$A,B に対たいして、直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian product $$A\times B$$A\times B を

で定義ていぎする。ここで $$(a,b)$$(a,b) は順序対じゅんじょついordered pairであり、第だい 1 成分せいぶんが $$a$$a、第だい 2 成分せいぶんが $$b$$b である。

より一般いっぱんに、$$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}1$$n\ge1 として $$A_1,A_2,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},A_n$$A_1,A_2,\dots,A_n の直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productは

である。これは順序付じゅんじょづき組くみordered tupleを集あつめた集合しゅうごうsetである。

3方針ほうしん

直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productを扱あつかうときは、元げんが 1 つの値あたいではなく、順序対じゅんじょついordered pairや組くみtupleであることを意識いしきする。したがって $$x\in A\times B$$x\in A\times B と書かかれていたら、$$x$$x を $$(a,b)$$(a,b) と置おき、$$a\in A$$a\in A と $$b\in B$$b\in B を取とり出だす。

この方針ほうしんは、後あとで関係かんけいrelationを理解りかいするときにそのまま使つかう。関係かんけいrelationは $$A\times B$$A\times B の部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetである。つまり、関係かんけいrelationは「どの順序対じゅんじょついordered pairを採用さいようするか」という選択せんたくである。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

$$A\times B$$A\times B は、表ひょうの行ぎょうと列れつcolumnを作つくる操作そうさとして見みると理解りかいしやすい。$$A$$A の元げんelementを行ぎょうの見出みだし、$$B$$B の元げんelementを列れつcolumnの見出みだしにすると、各かくマスが 1 つの順序対じゅんじょついordered pair $$(a,b)$$(a,b) に対応たいおうする。

たとえば $$A=\{1,2\}$$A=\{1,2\}、$$B=\{x,y,z\}$$B=\{x,y,z\} なら

である。この例れいでは $$\left|A\right|=2$$|A|=2、$$\left|B\right|=3$$|B|=3 なので、$$|A\times B|=6$$|A\times B|=6 である。有限集合ゆうげんしゅうごうでは一般いっぱんに

が成立せいりつする。選択せんたくの段階だんかいが 2 つあり、第だい 1 選択せんたくに $$\left|A\right|$$|A| 通とおり、第だい 2 選択せんたくに $$\left|B\right|$$|B| 通とおりあるためである。

5厳密げんみつな説明せつめい

順序対じゅんじょついordered pairで本質的ほんしつてきなのは、次つぎの同値性どうちせいである。

この性質せいしつにより、第だい 1 成分せいぶんと第だい 2 成分せいぶんを別々べつべつに比較ひかくできる。直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productの等式とうしきや包含ほうがんinclusionを示しめすときも、元げんを順序対じゅんじょついordered pairとして分解ぶんかいする。

境界例きょうかいれいも重要じゅうようである。$$A=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$A=\varnothing または $$B=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$B=\varnothing なら、$$A\times B=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$A\times B=\varnothing である。なぜなら、$$(a,b)$$(a,b) を作つくるには $$a\in A$$a\in A と $$b\in B$$b\in B の両方りょうほうが必要ひつようであり、片方かたほうの集合しゅうごうsetに元げんelementが存在そんざいしなければ順序対じゅんじょついordered pairを作つくれないからである。

順序対じゅんじょついordered pairの等号とうごうは成分せいぶんごとに判定はんていする。$$(a,b)=(a^{\prime },b^{\prime })$$(a,b)=(a',b') なら $$a=a^{\prime }$$a=a' かつ $$b=b^{\prime }$$b=b' であり、直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productへの所属しょぞくも各かく座標ざひょうが正ただしい集合しゅうごうに入はいることを同時どうじに要求ようきゅうする。

6例題れいだい：直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productと順序じゅんじょ

6.1問題もんだい

$$A=\{0,1\}$$A=\{0,1\}、$$B=\{1,2\}$$B=\{1,2\} とする。$$A\times B$$A\times B と $$B\times A$$B\times A を書かき出だし、両者りょうしゃが一般いっぱんに等ひとしくないことを確認かくにんせよ。

6.2解説かいせつ

定義ていぎより

である。一方いっぽう、

である。たとえば $$(0,1)\in A\times B$$(0,1)\in A\times B だが、$$(0,1)\notin B\times A$$(0,1)\notin B\times A である。したがって $$A\times B\ne B\times A$$A\times B\ne B\times A である。

ここで確認かくにんしているのは、直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productが単たんなる組合くみあわせではなく、順序じゅんじょを記録きろくする操作そうさであるという点てんである。

7変かわるものと保存ほぞんされるもの

片方かたほうの因子いんしを変かえると、表ひょうでいえば行ぎょうまたは列れつcolumnが変かわる。一方いっぽう、各かく元げんelementが順序対じゅんじょついであり、第だい 1 成分せいぶんと第だい 2 成分せいぶんを区別くべつすることは保存ほぞんされる。

8見分みわけ方かた

• 複数ふくすうの選択せんたくを同時どうじに記録きろくするなら、直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productを考かんがえる。
• 順序じゅんじょが意味いみを持もつなら、順序対じゅんじょついordered pairとして扱あつかう。
• 関係かんけいrelation を定義ていぎするなら、まず母体ぼたいとなる $$A\times B$$A\times B を確認かくにんする。
• 写像しゃぞうmap を定義ていぎするなら、$$A\times B$$A\times B の内うち「各かく $$a\in A$$a\in A に対たいして第だい 2 成分せいぶんが一意いちいに存在そんざいする」部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetを考かんがえる。

判定はんていでは、まず対象たいしょうが順序対じゅんじょついになっているかを見みる。次つぎに第だい 1 成分せいぶんが $$A$$A に、第だい 2 成分せいぶんが $$B$$B に入はいっているかを確認かくにんする。どちらか 1 つでも外はずれれば $$A\times B$$A\times B の元げんelementではない。

9証明しょうめい補足ほそく：直積ちょくせきが包含ほうがんを保たもつ条件じょうけん

直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian product は各成分かくせいぶんの包含ほうがんを保存ほぞんする。つまり

である。

証明しょうめいする。$$(a,b)\in A\times B$$(a,b)\in A\times B とする。この意味いみは $$a\in A$$a\in A かつ $$b\in B$$b\in B である。$$A\subseteq A^{\prime }$$A\subseteq A' と $$B\subseteq B^{\prime }$$B\subseteq B' より $$a\in A^{\prime }$$a\in A' かつ $$b\in B^{\prime }$$b\in B' である。したがって $$(a,b)\in A^{\prime }\times B^{\prime }$$(a,b)\in A'\times B' である。

逆向ぎゃくむきには空集合くうしゅうごうの注意ちゅういが必要ひつようである。もし $$A\times B\subseteq A^{\prime }\times B^{\prime }$$A\times B\subseteq A'\times B' で、さらに $$A$$A と $$B$$B がどちらも空からでないなら、$$A\subseteq A^{\prime }$$A\subseteq A' かつ $$B\subseteq B^{\prime }$$B\subseteq B' が従したがう。たとえば $$a\in A$$a\in A を取とり、$$B$$B が空からでないので $$b\in B$$b\in B を取とる。すると $$(a,b)\in A\times B\subseteq A^{\prime }\times B^{\prime }$$(a,b)\in A\times B\subseteq A'\times B' だから $$a\in A^{\prime }$$a\in A' である。同おなじ議論ぎろんで $$B\subseteq B^{\prime }$$B\subseteq B' も分わかる。

この非空ひくうの仮定かていを落おとすと、$$A\times \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$A\times\varnothing=\varnothing となり、左辺さへんだけから $$A$$A の情報じょうほうを読よみ取とれない。

10演習えんしゅうリンク

11関連かんれんリンク