標本化ひょうほんかと標本化定理ひょうほんかていりの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_39a00152c4e334961250e32dbdb8c3c5descriptionインパルス列による標本化、スペクトルの反復、標本化定理、エイリアシング、アンチエイリアスフィルタを説明する。prerequisitesフーリエ変換の基本 / 通信工学の基本type講義statusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、連続時間信号れんぞくじかんしんごうの一様標本化いちようひょうほんかをインパルス列れつとの乗算じょうざんとして表現ひょうげんし、周波数領域しゅうはすうりょういきに生しょうじるスペクトルの反復はんぷくから、復元条件ふくげんじょうけんとエイリアシングを説明せつめいする。

2一様標本化いちようひょうほんか

標本化ひょうほんかSamplingとは、連続時間信号れんぞくじかんしんごうから離散時刻りさんじこくの値あたいを取得しゅとくする操作そうさである。標本化周期ひょうほんかしゅうきを $T_{s} > 0$ 、標本化周波数ひょうほんかしゅうはすうSampling frequencyを $f_{s} = 1 / T_{s}$ とすると、標本列ひょうほんれつは

x [n] = x (n T_{s}), n \in Z

である。単位たんいは $T_{s}$ が s、 $f_{s}$ が Hz である。

Dirac のデルタDirac delta $δ (t - t_{0})$ は通常つうじょうの関数かんすうではなく、滑なめらかでコンパクトな台だいをもつ試験関数しけんかんすう $φ$ に対たいして

\int_{- \infty}^{\infty} φ (t) δ (t - t_{0}) d t = φ (t_{0})

という抽出特性ちゅうしゅつとくせいをもつ超関数ちょうかんすうである。この理想化りそうかを用もちいて、一様標本化いちようひょうほんかを連続時間れんぞくじかんで表現ひょうげんするため、周期しゅうき $T_{s}$ のインパルス列れつ

p (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T_{s})

を導入どうにゅうする。標本化信号ひょうほんかしんごうは

x_{s} (t) = x (t) p (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T_{s}) δ (t - n T_{s})

となる。この式しきは理想模型りそうもけいであり、現実げんじつの A/D 変換器へんかんきにおける有限時間ゆうげんじかんの標本取得ひょうほんしゅとくや量子化りょうしかは別べつの効果こうかである。

3スペクトルの反復はんぷく

インパルス列れつのフーリエ変換へんかんは

P (f) = f_{s} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (f - k f_{s})

である。時間領域じかんりょういきの乗算じょうざんは周波数領域しゅうはすうりょういきの畳たたみ込こみに対応たいおうするため、

X_{s} (f) = X (f) * P (f) = f_{s} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (f - k f_{s})

を得える。すなわち、 $X (f)$ の複写ふくしゃが $f_{s}$ 間隔かんかくで反復はんぷくする。 $f_{s}$ は複写間隔ふくしゃかんかくであり、ナイキスト周波数しゅうはすうNyquist frequency $f_{s} / 2$ は基底帯域きていたいいきの慣用的かんようてきな境界きょうかいである。帯域上限たいいきじょうげん $B$ に対たいするナイキスト率りつNyquist rate $2 B$ とは異ことなる量りょうである。この境界きょうかいでの一意性いちいせいには注意ちゅういが必要ひつようであり、後述こうじゅつする。

4標本化定理ひょうほんかていり

$x (t)$ が連続れんぞくな有限ゆうげんエネルギー信号しんごうであり、かつ帯域制限たいいきせいげんされ、

X (f) = 0 (| f | > B)

を満みたすと仮定かていする。さらに $f_{s} > 2 B$ なら、隣接りんせつするスペクトルの複写ふくしゃは間隔かんかく $f_{s} - 2 B > 0$ を保たもち、重かさならない。理想低域通過りそうていいきつうかフィルタで中央ちゅうおうの複写ふくしゃだけを抽出ちゅうしゅつし、利得りとく $T_{s}$ を与あたえれば、 $X (f)$ 、したがって $x (t)$ を一意いちいに復元ふくげんできる。

したがって、厳密げんみつに帯域制限たいいきせいげんされた連続時間信号れんぞくじかんしんごうに対たいし、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] f_{s} > 2 B

は理想標本りそうひょうほんからの完全復元かんぜんふくげんを保証ほしょうする十分条件じゅうぶんじょうけんである。この主張しゅちょうは無限長むげんちょうの信号しんごう、正確せいかくな標本値ひょうほんち、理想的りそうてきな復元ふくげんフィルタを仮定かていする。

$sinc (u) = \sin (π u) / (π u)$ と定義ていぎすると、復元ふくげんはsinc 補間ほかんSinc interpolation

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T_{s}) sinc (\frac{t - n T_{s}}{T_{s}})

によっても表現ひょうげんできる。この無限和むげんわは理想低域通過りそうていいきつうかフィルタによる復元ふくげんと同おなじ内容ないようを表あらわす。

5境界きょうかい $f_{s} = 2 B$

$f_{s} = 2 B$ では、隣接りんせつするスペクトルの複写ふくしゃが $f = \pm B$ で接せっする。前節ぜんせつの有限ゆうげんエネルギー信号しんごうでは、端点たんてんだけの値あたいは $L^{2}$ 関数かんすうとしての信号しんごうを変更へんこうしないため、これだけから非一意性ひいちいせいは結論けつろんできない。ただし、電力信号でんりょくしんごうも含ふくむ工学的こうがくてきな信号しんごうモデルでは、境界きょうかいに注意ちゅういが必要ひつようである。たとえば、有限ゆうげんエネルギー仮定かていの外そとにある $x (t) = \sin (2 π B t)$ を $f_{s} = 2 B$ で、すべての標本時刻ひょうほんじこくが零交差れいこうさに一致いっちする位相いそうから標本化ひょうほんかすると、すべての標本値ひょうほんちが 0 となる。このため、この講義こうぎでは端点たんてんの曖昧性あいまいせいを避さける保守的ほしゅてきな工学上こうがくじょうの保証条件ほしょうじょうけんとして、 $f_{s} > 2 B$ を採用さいようする。

6エイリアシングとアンチエイリアスフィルタ

$f_{s} < 2 B$ の場合ばあい、または入力にゅうりょくが $f_{s} / 2$ を超こえる成分せいぶんを含ふくむ場合ばあいは、スペクトルの複写ふくしゃが重かさなる。 $f_{s} / 2$ ちょうどの成分せいぶんは、前節ぜんせつで述のべた境界条件きょうかいじょうけんとして扱あつかう。エイリアシングAliasingとは、この重かさなりによって異ことなる連続時間周波数れんぞくじかんしゅうはすうが同一どういつの標本列ひょうほんれつとして観測かんそくされる現象げんしょうである。たとえば、 $f$ と $f + k f_{s}$ の正弦波せいげんはは標本時刻ひょうほんじこくで区別くべつできない。

標本化後ひょうほんかごに重かさなったスペクトルから元もとの成分せいぶんを一般いっぱんに分離ぶんりすることはできない。このため、A/D 変換へんかんの前まえにアナログアンチエイリアスフィルタAnti-aliasing filterを配置はいちし、 $f_{s} / 2$ 以上いじょうの成分せいぶんを十分じゅうぶんに減衰げんすいさせる。現実げんじつのフィルタには遷移帯域せんいたいいきがあるため、信号帯域しんごうたいいきと $f_{s} / 2$ の間あいだに余裕よゆうを設もうける。

7要点ようてん

インパルス列れつによる標本化ひょうほんかは、周波数領域しゅうはすうりょういきで $f_{s}$ 間隔かんかくのスペクトル複写ふくしゃを生成せいせいする。
$| f | > B$ で $X (f) = 0$ となり、かつ $f_{s} > 2 B$ の下もとで、理想的りそうてきな完全復元かんぜんふくげんが可能かのうである。
$f_{s} = 2 B$ の扱あつかいは信号しんごうクラスと端点条件たんてんじょうけんに依存いぞんするため、保守的ほしゅてきな工学上こうがくじょうの保証ほしょうには厳密不等号げんみつふとうごうを用もちいる。
エイリアシングは標本化後ひょうほんかごに一般いっぱんには除去じょきょできないため、標本化前ひょうほんかまえのフィルタと十分じゅうぶんな標本化周波数ひょうほんかしゅうはすうが必要ひつようである。

8次つぎに進すすむ講義こうぎ

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