Bernoulli 方程式ほうていしき

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Bernoulli 方程式ほうていしきを適切てきせつな置換ちかんによって一階線型方程式いっかいせんけいほうていしきへ帰着きちゃくする方法ほうほうを説明せつめいする。

一階線型いっかいせんけい

では、$$y$$y は 1 次じで現あらわれる。Bernoulli 方程式ほうていしきでは、右辺うへんに $$y^n$$y^n が現あらわれるため、そのままでは線型せんけいではない。しかし $$y^n$$y^n の形かたちが規則的きそくてきなので、$$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} という置換ちかんで線型化せんけいかできる。

2標準形ひょうじゅんけい

Bernoulli 方程式ほうていしきBernoulli equationとは、

の形かたちに書かける一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきである。本講義ほんこうぎではまず $$n$$n を整数せいすうとして扱あつかう。$$n$$n を一般いっぱんの実数じっすうとして扱あつかう場合ばあいは、$$y^{1-n}$$y^{1-n} が実数値じっすうちで定義ていぎされ微分可能びぶんかのうな区間くかん、たとえば $$y>0$$y>0 の範囲はんいで考かんがえる。

ただし、$$n=0$$n=0 と $$n=1$$n=1 は特別とくべつである。$$n=0$$n=0 なら

であり、最初さいしょから一階線型いっかいせんけいである。$$n=1$$n=1 なら

すなわち

であり、これも一階線型いっかいせんけいである。したがって Bernoulli 置換ちかんが本質的ほんしつてきに必要ひつようなのは $$n\ne 0,1$$n\ne 0,1 の場合ばあいである。

3命題めいだい：Bernoulli 方程式ほうていしきは一階線型いっかいせんけいへ帰着きちゃくする

仮定かていとして、$$n\ne 0,1$$n\ne 0,1 であり、$$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} が定義ていぎされ微分可能びぶんかのうな範囲はんいで

を考かんがえる。たとえば $$n$$n が整数せいすうなら $$y\ne 0$$y\ne 0 の範囲はんいでよい。$$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} とおくと、$$u$$u は

を満みたす。これは $$u$$u に関かんする一階線型微分方程式いっかいせんけいびぶんほうていしきである。

3.1証明しょうめい

$$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} とおく。合成関数ごうせいかんすうの微分びぶんより、

である。元もとの方程式ほうていしきを $$y^n$$y^n で割わると、

である。ここで $$y^{1-n}=u$$y^{1-n}=u、また $$y^{-n}{y}^{\prime }=u^{\prime }/(1-n)$$y^{-n}y'=u'/(1-n) だから、

である。両辺りょうへんに $$1-n$$1-n を掛かけて、

を得える。

したがって Bernoulli 方程式ほうていしきは、置換ちかんによって一階線型いっかいせんけいへ帰着きちゃくする。

4解法かいほうの手順てじゅん

1. $$y^{\prime }+p\left(x\right)y=q\left(x\right)y^n$$y'+p(x)y=q(x)y^n に整理せいりする。
2. $$n=0$$n=0 または $$n=1$$n=1 でないかを確認かくにんする。
3. $$y=0$$y=0 が元もとの式しきを満みたすかを先さきに確認かくにんする。
4. $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} が定義ていぎされ微分可能びぶんかのうな範囲はんいで $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} と置おく。
5. $$u$$u の一階線型方程式いっかいせんけいほうていしきを積分因子せきぶんいんしで解とく。
6. $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} の実数値じっすうちで微分可能びぶんかのうな逆変換ぎゃくへんかんの各枝かくえだを、その成立区間せいりつくかんで選択せんたくし、元もとの方程式ほうていしきへ代入だいにゅうして検証けんしょうする。

$$y^n$$y^n で割わる操作そうさを行おこなうため、$$y=0$$y=0 の解かいを落おとさないように注意ちゅういする。

5例れい：$$y^{\prime }+y=x{y}^2$$y'+y=xy^2

は Bernoulli 方程式ほうていしきであり、$$n=2$$n=2、$$p\left(x\right)=1$$p(x)=1、$$q\left(x\right)=x$$q(x)=x である。まず $$y=0$$y=0 は元もとの式しきを満みたすので、定数解ていすうかいである。

つぎに $$y\ne 0$$y\ne 0 として、$$u=y^{1-2}=y^{-1}$$u=y^{1-2}=y^{-1} とおく。命題めいだいより、

だから

である。これは一階線型いっかいせんけいである。積分因子せきぶんいんしは

である。両辺りょうへんに $$e^{-x}$$e^{-x} を掛かけると、

である。積分せきぶんして

を得える。したがって

である。$$u=1/y$$u=1/y なので、

を得える。これに加くわえて、最初さいしょに確認かくにんした $$y=0$$y=0 も解かいである。

この式しきは、分母ぶんぼ $$x+1+C{e}^x$$x+1+Ce^x が 0 にならない連結区間れんけつくかんごとに解かいを定さだめる。分母ぶんぼの零点れいてんをまたいで解かいを延長えんちょうすることはできない。

6Logistic 方程式ほうていしきとの関係かんけい

$$r>0,K>0$$r>0, K>0 とする。Logistic 方程式ほうていしき

は

と整理せいりできるため、Bernoulli 方程式ほうていしきの特殊例とくしゅれいである。

ただし Logistic 方程式ほうていしきは自律方程式じりつほうていしきでもある。そのため、明示解めいじかいを求もとめる前まえに、右辺うへんの符号ふごうから解かいの増減ぞうげんと平衡解へいこうかいの近傍きんぼうでの向むきを判定はんていできる。

7適用範囲てきようはんい

Bernoulli 型がたは、非線型方程式ひせんけいほうていしきのうち特別とくべつに線型化せんけいかできる型かたである。非線型ひせんけいというだけで Bernoulli 型がたとは限かぎらない。$$y^n$$y^n が標準形ひょうじゅんけいに従したがって現あらわれているかを確認かくにんする必要ひつようがある。

また、置換ちかんは $$y\ne 0$$y\ne 0 の範囲はんいで行おこなう。$$y=0$$y=0 で元もとの方程式ほうていしきが定義ていぎされ、かつ $$y=0$$y=0 が実際じっさいに解かいとなる場合ばあいは、その定数解ていすうかいを別べつに扱あつかう。

8演習えんしゅうリンク