Logistic 方程式ほうていしき

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Logistic 方程式ほうていしきを自律方程式じりつほうていしきとして解析かいせきし、平衡解へいこうかい・増減ぞうげん・非負ひふの状態空間じょうたいくうかんにおける長期挙動ちょうききょどうを判定はんていする方法ほうほうを説明せつめいする。

標準形ひょうじゅんけいは

である。ここで $$r>0$$r>0 は低密度ていみつどでの成長率せいちょうりつ、$$K>0$$K>0 は環境収容力かんきょうしゅうようりょくcarrying capacityを表あらわす。

$$y$$y が小ちいさいときは $$1-y/K\approx 1$$1-y/K\approx 1 なので、

であり、指数成長しすうせいちょうに近ちかい。一方いっぽう、$$y$$y が $$K$$K に近ちかづくと $$1-y/K$$1-y/K が小ちいさくなり、成長せいちょうが抑おさえられる。

2平衡解へいこうかいを先さきに解析かいせきする理由りゆう

Logistic 方程式ほうていしきは

という自律方程式じりつほうていしきである。自律方程式じりつほうていしきでは、現在げんざいの値あたい $$y$$y だけで増減ぞうげんが決きまる。そのため、解かいの式しきを求もとめる前まえに、$$F\left(y\right)$$F(y) の符号ふごうから増減方向ぞうげんほうこうを判定はんていできる。

3命題めいだい1：Logistic 方程式ほうていしきの平衡解へいこうかい

仮定かていとして $$r>0,K>0$$r>0,\ K>0 とする。Logistic 方程式ほうていしき

の平衡解へいこうかいは

である。

3.1証明しょうめい

平衡解へいこうかいは定数解ていすうかいなので $$y^{\prime }=0$$y'=0 を満みたす。右辺うへんが 0 になる条件じょうけんは

である。$$r>0$$r>0 だから、

または

である。したがって $$y=0,K$$y=0,\ K が平衡解へいこうかいである。逆ぎゃくに、$$y=0$$y=0 と $$y=K$$y=K を代入だいにゅうすると右辺うへんは 0 になり、左辺さへんも定数解ていすうかいなので 0 である。よってどちらも解かいである。

4命題めいだい2：$$0<y<K$$0<y<K では増加ぞうかし、$$y>K$$y>K では減少げんしょうする

仮定かていとして $$r>0,K>0$$r>0,\ K>0 とする。

なら $$y^{\prime }>0$$y'>0 であり、

なら $$y^{\prime }<0$$y'<0 である。

4.1証明しょうめい

$$0<y<K$$0<y<K なら $$y>0$$y>0 かつ $$1-y/K>0$$1-y/K>0 である。さらに $$r>0$$r>0 なので

である。したがって $$y^{\prime }>0$$y'>0 であり、解かいは増加ぞうかする。

$$y>K$$y>K なら $$y>0$$y>0 かつ $$1-y/K<0$$1-y/K<0 である。したがって

であり、$$y^{\prime }<0$$y'<0 である。よって解かいは減少げんしょうする。

この命題めいだいから、正せいの半直線上はんちょくせんじょうでは位相線いそうせんの矢印やじるしが $$K$$K の方向ほうこうを指さすと判定はんていできる。$$K$$K への収束しゅうそくは、後あとで明示解めいじかいから確認かくにんする。

5位相線いそうせんによる整理せいり

現実げんじつの人口じんこうや量りょうを表あらわす場合ばあいは、通常つうじょう $$y\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$y\ge 0 の範囲はんいを考かんがえる。この位相線いそうせんでは、矢印やじるしは $$0$$0 から離はなれ、$$K$$K の方向ほうこうを指さす。

6明示解めいじかいの導出どうしゅつ

$$0<y<K$$0<y<K または $$y>K$$y>K の範囲はんいで変数分離へんすうぶんりする。どちらの範囲はんいでも $$y\ne 0$$y\ne 0 かつ $$y\ne K$$y\ne K なので、$$y(K-y)$$y(K-y) で割わる操作そうさが可能かのうである。$$y=0$$y=0 と $$y=K$$y=K は先さきに確認かくにんした平衡解へいこうかいとして別べつに扱あつかう。

だから

である。部分分数分解ぶぶんぶんすうぶんかいにより

である。したがって

である。左辺さへんの第二項だいにこうでは $$K-y$$K-y の微分びぶんが $$-1$$-1 であることに注意ちゅういすると、

を得える。両辺りょうへんに $$K$$K を掛かけ、

と書かく。これを $$y$$y について解とくと、

である。初期条件しょきじょうけん $$y\left(0\right)=y_0$$y(0)=y_0 を使つかうと、$$y_0>0,y_0\ne K$$y_0>0,\ y_0\ne K の場合ばあいには

だから、

である。この式しきは、分母ぶんぼが 0 にならない、$$t=0$$t=0 を含ふくむ最大連結区間さいだいれんけつくかんで解かいを定さだめる。また、$$y_0>0,y_0\ne K$$y_0>0,\ y_0\ne K なら $$t\to \mathrm{\infty }$$t\to\infty で $$y\left(t\right)\to K$$y(t)\to K となることが確認かくにんできる。$$y_0=K$$y_0=K の場合ばあいは、平衡解へいこうかい $$y\left(t\right)=K$$y(t)=K そのものである。

7Bernoulli 型がたとしての解釈かいしゃく

Logistic 方程式ほうていしきは

なので、

と整理せいりできる。これは Bernoulli 方程式ほうていしきの形かたち

で $$n=2$$n=2 の場合ばあいである。

したがって Logistic 方程式ほうていしきは、自律方程式じりつほうていしきとして位相線いそうせんで解析かいせきすることも、Bernoulli 型がたとして線型化せんけいかして解とくこともできる。正せいの半直線上はんちょくせんじょうにおける増減方向ぞうげんほうこうを定性的ていせいてきに判定はんていするなら位相線いそうせんを、具体的ぐたいてきな式しきや収束しゅうそくの証明しょうめいが必要ひつようなら変数分離へんすうぶんりや Bernoulli 置換ちかんを使用しようする。

8適用範囲てきようはんい

Logistic 方程式ほうていしきは、成長率せいちょうりつ $$r$$r と環境収容力かんきょうしゅうようりょく $$K$$K が一定いっていで、増減ぞうげんが現在げんざいの $$y$$y だけで決きまるという単純化たんじゅんかを置おいている。季節変動きせつへんどう、年齢構造ねんれいこうぞう、空間移動くうかんいどうを入いれると、時間依存係数じかんいぞんけいすう、連立系れんりつけい、偏微分方程式へんびぶんほうていしきへ拡張かくちょうされる。

9演習えんしゅうリンク

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