級数きゅうすうの基本きほん

1導入どうにゅう

無限個むげんこの実数じっすうを一度いちどに加算かさんする演算えんざんは、有限和ゆうげんわからは直接ちょくせつには定義ていぎされない。無限級数むげんきゅうすうの値あたいは、有限個ゆうげんこの項こうからなる部分和ぶぶんわを数列すうれつとみなし、その極限きょくげんとして定義ていぎする。

本講義ほんこうぎでは実数列じっすうれつ $(a_n{)}_{n\ge 1}$(a_n)_{n\geq1} を対象たいしょうとする。級数きゅうすうの収束しゅうそくを $\epsilon$\varepsilon-$N$N 論法ろんぽうで定式化ていしきかし、収束しゅうそくの必要条件ひつようじょうけんと、その逆ぎゃくが成立せいりつしないことを証明しょうめいする。さらに、等比級数とうひきゅうすうを完全かんぜんに分類ぶんるいする。

2部分和ぶぶんわと級数きゅうすうの定義ていぎ

$N\ge 1$N\geq1 に対たいし、第だい $N$N 部分和ぶぶんわを

と定義ていぎする。記号きごう $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$\sum_{n=1}^{\infty}a_n は部分和列ぶぶんわれつ $(S_N{)}_{N\ge 1}$(S_N)_{N\geq1} によって解釈かいしゃくする。

部分和列ぶぶんわれつが $S\in \mathbb{R}$S\in\mathbb R に収束しゅうそくするとき、級数きゅうすうは収束しゅうそくするconvergeといい、

と記しるす。すなわち、

である。部分和列ぶぶんわれつが有限ゆうげんな実数じっすうへ収束しゅうそくしないとき、級数きゅうすうは発散はっさんするdivergeという。記号きごう $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$\sum_{n=1}^{\infty}a_n は、収束しゅうそくを確認かくにんする以前いぜんには有限和ゆうげんわのような実数値じっすうちを表あらわさない。

3収束しゅうそくの必要条件ひつようじょうけん

3.1定理ていり

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$\sum_{n=1}^{\infty}a_n が収束しゅうそくするなら、$a_n\to 0$a_n\to0 である。

3.2証明しょうめい

添字端点そえじたんてんを統一とういつするため、空和くうわを $S_0=0$S_0=0 と定義ていぎする。すると、すべての $n\ge 1$n\geq1 について

である。$S_n\to S$S_n\to S とする。任意にんいの $\epsilon >0$\varepsilon>0 に対たいし、ある $K\ge 1$K\geq1 が存在そんざいして、$m\ge K$m\geq K なら $|S_m-S|<\epsilon /2$|S_m-S|<\varepsilon/2 となる。$n\ge K+1$n\geq K+1 なら $n\ge K$n\geq K かつ $n-1\ge K$n-1\geq K であるから、

したがって $a_n\to 0$a_n\to0 である。$\mathrm{\square }$\square

この定理ていりの対偶たいぐうにより、$a_n$a_n が $0$0 に収束しゅうそくしなければ $\sum a_n$\sum a_n は発散はっさんする。ただし、$a_n\to 0$a_n\to0 は十分条件じゅうぶんじょうけんではない。

4反例はんれい：調和級数ちょうわきゅうすう

調和級数ちょうわきゅうすう

では $1/n\to 0$1/n\to0 であるが、級数きゅうすうは発散はっさんする。実際じっさい、$m\ge 1$m\geq1 に対たいして $2^{m-1}<n\le 2^m$2^{m-1}<n\leq2^m を満みたす $2^{m-1}$2^{m-1} 個この項こうを一群いちぐんとする。この群ぐんでは $n\le 2^m$n\leq2^m であるから、各項かくこうは $1/2^m$1/2^m 以上いじょうであり、

ゆえに $k\ge 1$k\geq1 に対たいし、端点たんてんを重複ちょうふくさせずに

右辺うへんは $k\to \mathrm{\infty }$k\to\infty で非有界ひゆうかいである。また $S_N$S_N は単調増加たんちょうぞうかするため、$S_N\to +\mathrm{\infty }$S_N\to+\infty である。したがって調和級数ちょうわきゅうすうは発散はっさんし、$a_n\to 0$a_n\to0 だけでは級数きゅうすうの収束しゅうそくを保証ほしょうできない。

5等比級数とうひきゅうすうの完全分類かんぜんぶんるい

$a,r\in \mathbb{R}$a,r\in\mathbb R とし、

を考察こうさつする。$N\ge 0$N\geq0 に対たいする部分和ぶぶんわを $T_N=\sum _{n=0}^{N}a{r}^n$T_N=\sum_{n=0}^{N}ar^n とする。

• $a=0$a=0 なら、$r$r の値あたいに無関係むかんけいに $T_N=0$T_N=0 であり、級数きゅうすうは $0$0 に収束しゅうそくする。
• $a\ne 0$a\ne0 かつ $r\ne 1$r\ne1 なら、$(1-r)T_N=a(1-r^{N+1})$(1-r)T_N=a(1-r^{N+1}) であるから

$\left|r\right|<1$|r|<1 では $r^{N+1}\to 0$r^{N+1}\to0 なので、

• $a\ne 0$a\ne0 かつ $r=1$r=1 なら $T_N=a(N+1)$T_N=a(N+1) であり、$a>0$a>0 では $+\mathrm{\infty }$+\infty、$a<0$a<0 では $-\mathrm{\infty }$-\infty へ発散はっさんする。
• $a\ne 0$a\ne0 かつ $r=-1$r=-1 なら $T_N$T_N は $a,0,a,0,\dots$a,0,a,0,\ldots と振動しんどうして発散はっさんする。
• $a\ne 0$a\ne0 かつ $\left|r\right|>1$|r|>1 なら、一般項いっぱんこう $a{r}^n$ar^n が $0$0 に収束しゅうそくしないため、必要条件ひつようじょうけんにより発散はっさんする。$r>1$r>1 では $a>0$a>0 なら部分和ぶぶんわは $+\mathrm{\infty }$+\infty、$a<0$a<0 なら $-\mathrm{\infty }$-\infty へ発散はっさんし、$r<-1$r<-1 では絶対値ぜったいちが増大ぞうだいしながら符号ふごうが交替こうたいする。

したがって、$a\ne 0$a\ne0 の場合ばあい、等比級数とうひきゅうすうが収束しゅうそくするための必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけんは $\left|r\right|<1$|r|<1 である。$a=0$a=0 はすべての $r$r に対たいする例外れいがいである。

6判定手順はんていてじゅん

• まず部分和ぶぶんわを定義ていぎし、その極限きょくげんを問題もんだいとする。
• 一般項いっぱんこうが $0$0 に収束しゅうそくしない場合ばあいは、必要条件ひつようじょうけんによって直ただちに発散はっさんと判定はんていする。
• 一般項いっぱんこうが $0$0 に収束しゅうそくしても結論けつろんは確定かくていしない。部分和ぶぶんわの解析かいせきまたは適切てきせつな収束判定しゅうそくはんていが必要ひつようである。
• 等比級数とうひきゅうすうでは、まず $a=0$a=0 を分離ぶんりし、$a\ne 0$a\ne0 なら $\left|r\right|<1$|r|<1 か否いなかを判定はんていする。

7適用範囲てきようはんい

本講義ほんこうぎは収束しゅうそくの定義ていぎと最初さいしょの必要条件ひつようじょうけんを扱あつかう。正項級数せいこうきゅうすうの比較判定ひかくはんてい、絶対収束ぜったいしゅうそく、交代級数こうたいきゅうすう、冪級数べききゅうすうには追加ついかの定理ていりを要ようする。また、有限個ゆうげんこの項こうの変更へんこうは収束しゅうそく・発散はっさんを変更へんこうしないが、収束時しゅうそくじの和わはその変更量へんこうりょうだけ変化へんかする。

8基本公式きほんこうしき

9要約ようやく

• 無限級数むげんきゅうすうの収束しゅうそくは部分和列ぶぶんわれつの収束しゅうそくである。
• 級数きゅうすうの収束しゅうそくには $a_n\to 0$a_n\to0 が必要ひつようであるが、調和級数ちょうわきゅうすうが示しめすとおり十分じゅうぶんではない。
• 等比級数とうひきゅうすうは、零級数れいきゅうすうを分離ぶんりすれば、$\left|r\right|<1$|r|<1 の場合ばあいに限かぎり収束しゅうそくする。

10関連講義かんれんこうぎ