複素解析ふくそかいせきの入口いりぐち

date2026-07-14document_iddoc_6410f23ad4e96c452c863de0129d8bcfdescription複素解析の入口を、複素微分が実数の微分よりずっと強い条件になることを軸に、正則関数・複素積分・級数展開の見取り図まで説明する。prerequisites複素数と複素平面 / 微分積分 / 級数type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎで中心ちゅうしんに置おく発想はっそうは、複素関数ふくそかんすうの微分可能びぶんかのうは、実関数じつかんすうの微分可能びぶんかのうよりはるかに強つよい条件じょうけんだと捉とらえることである。

実数じっすうの関数かんすうでは、微分可能びぶんかのうであっても荒あらい振ふる舞まいをするものがたくさんある。ところが複素解析ふくそかいせきでは、正則せいそくであるというだけで、級数展開きゅうすうてんかいできたり、積分せきぶんが強つよく制御せいぎょされたりする。この強つよさがどこから来くるのかを見通みとおすのが、この講義こうぎの目的もくてきである。

2用語ようごと定義ていぎ

複素関数ふくそかんすうComplex function とは、複素数ふくそすうを入力にゅうりょくし、複素数ふくそすうを出力しゅつりょくする関数かんすうである。

領域りょういきDomain とは、複素平面ふくそへいめんの開ひらいた連結れんけつな部分集合ぶぶんしゅうごうである。関数かんすう $f$ が点てん $z_{0}$ で複素微分可能ふくそびぶんかのうcomplex differentiableであるとは、

f^{'} (z_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (z_{0} + h) - f (z_{0})}{h}

が、複素数ふくそすう $h$ の近ちかづく方向ほうこうによらず存在そんざいすることをいう。領域りょういき $D$ のすべての点てんで複素微分可能ふくそびぶんかのうな関数かんすうを、 $D$ 上じょうで正則せいそくholomorphicであるという。

複素積分ふくそせきぶんComplex integral とは、複素平面ふくそへいめんの曲線きょくせんにそって関数かんすうを積分せきぶんすることである。

3方針ほうしん

複素解析ふくそかいせきでは、まず「複素微分ふくそびぶんとは何なにか」を実数じっすうの微分びぶんと比くらべて押おさえる。そのあと、正則せいそくという条件じょうけんがどれほど強つよいかを、コーシー・リーマン方程式ほうていしき、複素積分ふくそせきぶん、級数展開きゅうすうてんかいの三みっつの方向ほうこうから見みる。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

実関数じつかんすうの微分びぶんでは、右みぎから近ちかづけるか左ひだりから近ちかづけるかくらいしか方向ほうこうがない。しかし複素平面ふくそへいめんでは、ある点てんに近ちかづく方向ほうこうが無数むすうにある。それなのに、どの方向ほうこうから近ちかづいても同おなじ微分係数びぶんけいすうになることを要求ようきゅうするのが複素微分ふくそびぶんである。

このため、複素微分可能ふくそびぶんかのうという条件じょうけんはとても厳きびしくなる。そのかわり、いったん正則せいそくであることが分わかると、その関数かんすうは滑なめらかで、局所的きょくしょてきには冪級数べききゅうすうとして書かけるほど整ととのった振ふる舞まいをする。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 複素微分ふくそびぶん

上うえで定義ていぎした差商さしょうの極限きょくげんを考かんがえる。 $h$ は複素数ふくそすうなので、0 への近ちかづき方かたが無数むすうにある。

5.22. コーシー・リーマン方程式ほうていしき

f (z) = u (x, y) + i v (x, y) (z = x + i y)

と書かく。 $f$ が $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ で複素微分可能ふくそびぶんかのうなら、実軸方向じつじくほうこうと虚軸方向きょじくほうこうから差商さしょうを比くらべることにより、

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}

が $z_{0}$ で必要ひつようである。

逆ぎゃくに、 $u, v$ が $z_{0}$ の近傍きんぼうで連続れんぞくな一階偏導関数いっかいへんどうかんすうを持もち、 $z_{0}$ でこの二式にしきを満みたすなら、 $f$ は $z_{0}$ で複素微分可能ふくそびぶんかのうである。したがって、領域りょういき $D$ で $u, v \in C^{1} (D)$ かつ各点かくてんでコーシー・リーマン方程式ほうていしきが成立せいりつすれば、 $f$ は $D$ 上じょうで正則せいそくである。必要条件ひつようじょうけんと、この滑なめらかさを仮定かていした十分条件じゅうぶんじょうけんを区別くべつすることが重要じゅうようである。

5.33. 積分せきぶんが強つよく制御せいぎょされる

単連結たんれんけつな領域りょういき $D$ で正則せいそくな関数かんすうは、 $D$ 内ないの区分的くぶんてきに $C^{1}$ 級きゅうな閉曲線へいきょくせんにそった積分せきぶんが 0 になる。これがコーシーの積分定理せきぶんていりである。穴あなのある領域りょういきでは単連結性たんれんけつせいを外はずすと結論けつろんが失敗しっぱいすることがあるため、領域りょういきと曲線きょくせんの仮定かていを省略しょうりゃくしない。ここから積分表示せきぶんひょうじや級数展開きゅうすうてんかいが導みちびかれる。

5.44. 級数展開きゅうすうてんかい

領域りょういき $D$ 上じょうの正則関数せいそくかんすうは、 $z_{0} \in D$ を中心ちゅうしんとし、 $D$ に含ふくまれる十分小じゅうぶんちいさい円板えんばんの中なかで

f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n}

と書かけ、 $a_{n} = f^{(n)} (z_{0}) / n!$ である。実関数じつかんすうでは微分可能びぶんかのうでも冪級数べききゅうすうに展開てんかいできるとは限かぎらないが、複素解析ふくそかいせきでは正則せいそくであることからこれが従したがう。この定理ていりは、次つぎの複素積分ふくそせきぶんの講義こうぎで扱あつかうコーシーの積分表示せきぶんひょうじへつながる。

6別べつの見方みかた

複素解析ふくそかいせきは、二変数関数にへんすうかんすう $u (x, y), v (x, y)$ の理論りろんとして見みることもできるし、平面へいめんの幾何きかとして見みることもできる。正則写像せいそくしゃぞう $f$ は、 $f^{'} (z_{0}) \neq 0$ である点てん $z_{0}$ では、交まじわる滑なめらかな曲線きょくせんの向むき付つき角度かくどを局所的きょくしょてきに保たもつ。この性質せいしつを等角性とうかくせいconformalityという。導関数どうかんすうが 0 の点てんでは一般いっぱんに等角とうかくではない。たとえば $f (z) = z^{2}$ は正則せいそくだが、原点げんてんの近ちかくで偏角へんかくを 2 倍ばいする。

data/lecture/math/analysis/joukowski-transform.lecture.n.md

7見分みわけ方かた

複素数ふくそすうの関数かんすうを微分びぶんするとき、まず方向ほうこうによらず極限きょくげんが一致いっちするかを意識いしきする。
正則せいそくと出でたら、コーシー・リーマン方程式ほうていしき、積分定理せきぶんていり、級数展開きゅうすうてんかいの三みっつが連動れんどうしていると考かんがえると整理せいりしやすい。
実解析じつかいせきとの違ちがいを問とわれたら、「微分可能びぶんかのうの条件じょうけんがはるかに強つよい」と答こたえるのが出発点しゅっぱつてんである。

8最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] f^{'} (z_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (z_{0} + h) - f (z_{0})}{h}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] f が z_{0} で複素微分可能 ⟹ u_{x} (z_{0}) = v_{y} (z_{0}), u_{y} (z_{0}) = - v_{x} (z_{0})

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"substack\")")] u, v は z_{0} の近傍で C^{1} [PARSE ERROR: NewLine] u_{x} (z_{0}) = v_{y} (z_{0}), u_{y} (z_{0}) = - v_{x} (z_{0}) ⟹ f は z_{0} で複素微分可能

9一言ひとことでいうと

複素解析ふくそかいせきでは、複素微分可能ふくそびぶんかのうという強つよい条件じょうけんから、積分せきぶんと級数展開きゅうすうてんかいの豊ゆたかな理論りろんが立たち上あがる。