外積代数がいせきだいすう・微分形式びぶんけいしきポータル

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、外積代数がいせきだいすうを 3 次元じげんの cross product と同一視どういつしせず、面積めんせき・体積たいせき・積分せきぶんを座標ざひょうに依存いぞんしにくく記述きじゅつする代数言語だいすうげんごとして導入どうにゅうする。

2方針ほうしん

最初さいしょに双対空間そうついくうかんと共きょうベクトルを確認かくにんする。つぎに多重線形写像たじゅうせんけいしゃぞうと交代性こうたいせいを定義ていぎし、wedge 積せきと外冪がいべきへ進行しんこうする。続つづいて微分形式びぶんけいしき・外微分がいびぶん・引ひき戻もどし・形式けいしきの積分せきぶんへ接続せつぞくする。

3このトラックの責務せきむ

3 次元じげんベクトルの外積がいせきは、内積ないせきと向むき付づけを前提ぜんていにして二本にほんのベクトルから一本いっぽんのベクトルを作つくる演算えんざんである。このトラックが扱あつかう wedge 積せきは、それとは別べつに、反対称はんたいしょうな多重線形構造たじゅうせんけいこうぞうを任意次元にんいじげんで記述きじゅつする道具どうぐである。

ベクトル解析かいせきトラックでは grad・div・curl・Green・Gauss・Stokes を古典的こてんてきな記号きごうで扱あつかう。このトラックの責務せきむは、それらを双対空間そうついくうかん、外冪がいべき、微分形式びぶんけいしき、外微分がいびぶん、一般いっぱん Stokes 定理ていりの言葉ことばで再構成さいこうせいすることである。

4読解順序どっかいじゅんじょ

標準順序ひょうじゅんじゅんじょは、dual、multilinear/alternating、wedge、forms、pullback、exterior derivative、Stokes、Hodge、cohomology である。ベクトル解析かいせきを既習きしゅうの読者どくしゃは、wedge 積せき、微分形式びぶんけいしきと外微分がいびぶん、一般いっぱん Stokes 定理ていりとベクトル解析かいせき辞書じしょの順じゅんで最短さいたんの対応たいおうを確認かくにんできる。

5なぜ dual から始はじめるか

微分形式びぶんけいしきは、ベクトルそのものではなく、ベクトルを入力にゅうりょくして数かずを返かえす共きょうベクトルや交代多重線形形式こうたいたじゅうせんけいけいしきを主役しゅやくにする。そのため、$$dx,dy,dz$$dx,dy,dz を記号きごうとして並ならべる前まえに、それらが何なにに作用さようするのかを双対空間そうついくうかんの言葉ことばで固定こていする必要ひつようがある。

この順序じゅんじょを守まもると、$$df$$df を勾配こうばいの別表記べつひょうきとしてではなく、方向ほうこうへ作用さようして変化率へんかりつを返かえす 1 形式けいしきとして理解りかいできる。さらに wedge 積せきも、面積要素めんせきようそや体積要素たいせきようそを作つくる反対称積はんたいしょうせきとして自然しぜんに読よめる。

6抽象度ちゅうしょうどの目安めやす

7外積がいせきとの区別くべつ

3 次元じげんの cross product は $$R^3$$\mathbb{R}^3 の内積ないせきと向むき付づけを使用しようし、二本にほんのベクトルから垂直すいちょくな一本いっぽんのベクトルを作つくる。wedge 積せきは任意次元にんいじげんで定義ていぎされ、二本にほんの共きょうベクトルから 2 形式けいしきを作つくる。結果けっかの型かたが異ことなるため、名称めいしょうが近ちかくても同一どういつの演算えんざんとして扱あつかわない。

8必要性ひつようせい

ベクトル解析かいせきでは、grad・curl・div・line integral・surface integral が別々べつべつの記号きごうとして現あらわれる。微分形式びぶんけいしきでは、これらを外微分がいびぶんと形式けいしきの積分せきぶんとして統一とういつできる。この統一とういつが外積代数がいせきだいすうを習得しゅうとくする理由りゆうである。

9三みっつの読解経路どっかいけいろ

標準ひょうじゅん経路けいろでは、双対空間そうついくうかん → 多重線形写像たじゅうせんけいしゃぞうと交代写像こうたいしゃぞう → wedge 積せきと外冪がいべき → 微分形式びぶんけいしきと外微分がいびぶん → pullback と形式けいしきの積分せきぶん → 一般いっぱん Stokes 定理ていり の順じゅんで進すすむ。この経路けいろは定義ていぎから積分せきぶんまでを順じゅんに積つみ上あげる。

ベクトル解析かいせき既習者きしゅうしゃの最短さいたん経路けいろでは、wedge 積せきと外冪がいべき → 微分形式びぶんけいしきと外微分がいびぶん → 一般いっぱん Stokes 定理ていりとベクトル解析かいせき辞書じしょの順じゅんで進すすむ。この経路けいろでは、curl や divergence が何なにの像ぞうとして再記述さいきじゅつされるかを短距離たんきょりで確認かくにんできる。

抽象重視ちゅうしょうじゅうし経路けいろでは、dual → 多重線形写像たじゅうせんけいしゃぞうと交代写像こうたいしゃぞう → wedge 積せき → Hodge star → de Rham cohomology の順じゅんで進すすむ。この経路けいろは、計量けいりょうや位相いそうとの接続せつぞくを早はやめに確認かくにんしたい場合ばあいに適てきしている。

10ベクトル解析かいせきとの対応たいおう

微分形式びぶんけいしきを学まなぶ理由りゆうは、ベクトル解析かいせきの記号きごうを別名べつめいに置換ちかんすることではない。何なにが 0 形式けいしきで、何なにが 1 形式けいしきで、何なにが 2 形式けいしきであるかを区別くべつすると、「積分せきぶんできる対象たいしょうの次数じすう」と「外微分がいびぶんで上あがる次数じすう」が一貫いっかんして読よめるようになる。

その結果けっか、Green・Gauss・Stokes は別個べっこの定理ていりではなく、$${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\mathit{\partial }M}\omega$$\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega という一般いっぱん Stokes 定理ていりの特別例とくべつれいとして整理せいりできる。この対応たいおうは終盤しゅうばんの辞書じしょページで回収かいしゅうする。

11学習順序がくしゅうじゅんじょ

12注意ちゅうい

3 次元じげんの外積がいせきは、二本にほんのベクトルから一本いっぽんのベクトルを作つくる演算えんざんである。外積代数がいせきだいすうの wedge 積せきは、面積要素めんせきようそや体積要素たいせきようそを扱あつかう反対称はんたいしょうな積せきであり、定義ていぎの位置いちが異ことなる。

13関連かんれんリンク