作用素さようそカタログ：スペクトル編へん

date2026-07-08document_iddoc_34b42e33a6ab636df9b3635bb4952361description随伴作用素・自己随伴作用素・ユニタリ作用素・コンパクト作用素・レゾルベント・半群作用素を、内積・スペクトル・時間発展の見方から整理する講義である。prerequisites線型作用素 / 内積空間 / 固有値と固有ベクトル / 作用素カタログ-基礎編type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

このページでは、内積ないせきや固有値こゆうちを使つかって性質せいしつを読よむ作用素さようそを整理せいりする。

基礎編きそへんでは、微分びぶん・シフト・畳たたみ込こみのように「何なにをするか」が見みえやすい作用素さようそを扱あつかった。ここでは、随伴ずいはんadjoint、自己随伴じこずいはんself-adjoint、ユニタリunitary、コンパクトcompact、レゾルベントresolvent、半群はんぐんsemigroupのように、空間くうかんの幾何きかやスペクトルを読よむための作用素さようそを扱あつかう。

data/lecture/math/linear-operator/operator-catalog-foundations.lecture.n.md

2一覧いちらん

作用素さようそ	典型形てんけいけい	意味いみ	対応たいおうしやすい理論りろん
随伴作用素ずいはんさようそadjoint operator	$T^{*}$	内積ないせきに関かんする反対側はんたいがわの作用さよう	Hilbert space
自己随伴作用素じこずいはんさようそself-adjoint operator	$T = T^{*}$	実固有値じつこゆうちを持もちやすい対称的たいしょうてきな作用素さようそ	Spectral theorem
ユニタリ作用素さようそunitary operator	$U^{} U = U U^{} = I$	長ながさ・内積ないせきを保たもつ	Fourier transform
コンパクト作用素さようそcompact operator	bounded set を relatively compact に送おくる	無限次元むげんじげんで有限次元的ゆうげんじげんてきに振ふる舞まう	Fredholm theory
レゾルベントresolvent	$(λ I - T)^{- 1}$	作用素さようその逆ぎゃくをパラメータで見みる	Spectrum theory
半群作用素はんぐんさようそsemigroup operator	$e^{t A}$	時間発展じかんはってんを表あらわす	Laplace, spectral calculus

3随伴作用素ずいはんさようそadjoint operator

内積空間ないせきくうかん $V$ 上じょうの線型作用素せんけいさようそ $T$ に対たいして、 $T^{*}$ が

⟨ T x, y ⟩ = ⟨ x, T^{*} y ⟩

を満みたすとき、 $T^{*}$ を随伴作用素ずいはんさようそadjoint operatorという。

随伴ずいはんを考かんがえる理由りゆうは、 $T$ が第一だいいち変数へんすうへ作用さようしている式しきを、内積ないせきの反対側はんたいがわへ移うつしたいからである。これは部分積分ぶぶんせきぶんで微分びぶんを相手あいての関数かんすうへ移うつす操作そうさの抽象版ちゅうしょうばんである。

有限次元ゆうげんじげんで標準内積ひょうじゅんないせきを使つかうと、行列ぎょうれつの随伴ずいはんは複素共役転置ふくそきょうやくてんちである。

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4自己随伴作用素じこずいはんさようそself-adjoint operator

T = T^{*}

を満みたす作用素さようそを自己随伴作用素じこずいはんさようそself-adjoint operatorという。実じつ内積空間ないせきくうかんでは、対称行列たいしょうぎょうれつが代表例だいひょうれいである。

4.1命題めいだい：自己随伴作用素じこずいはんさようその固有値こゆうちは実数じっすうである

4.2証明しょうめい

複素ふくそ内積空間ないせきくうかんで $T v = λ v$ 、 $v \neq 0$ とする。 $T = T^{*}$ なら

⟨ T v, v ⟩ = ⟨ v, T v ⟩

である。左辺さへんは

⟨ λ v, v ⟩ = λ ⟨ v, v ⟩

であり、右辺うへんは

⟨ v, λ v ⟩ = \overline{λ} ⟨ v, v ⟩

である。したがって

(λ - \overline{λ}) ⟨ v, v ⟩ = 0

である。 $v \neq 0$ なので $⟨ v, v ⟩ \neq 0$ であり、 $λ = \overline{λ}$ である。よって $λ$ は実数じっすうである。□

自己随伴作用素じこずいはんさようそが重要じゅうようなのは、固有値こゆうちが実数じっすうとして現あらわれ、直交分解ちょっこうぶんかいやスペクトル分解ぶんかいと結むすびつきやすいからである。

5ユニタリ作用素さようそunitary operator

U^{*} U = U U^{*} = I

を満みたす作用素さようそをユニタリ作用素さようそunitary operatorという。つまり、 $U$ は内積ないせきを保たもつだけでなく、逆向ぎゃくむきの作用素さようそも $U^{*}$ として存在そんざいする。

$U^{*} U = I$ だけなら、 $U$ は長ながさを保たもつ等長作用素とうちょうさようそisometryである。しかし無限次元むげんじげんでは、それだけでは全射ぜんしゃとは限かぎらない。ユニタリ作用素さようそと呼よぶには、戻もどる向むきも含ふくめて $U U^{*} = I$ が必要ひつようである。

5.1命題めいだい：ユニタリ作用素さようそは内積ないせきを保たもつ

5.2証明しょうめい

$U^{*} U = U U^{*} = I$ とする。このとき、とくに $U^{*} U = I$ なので

⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, U^{*} U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩

である。したがって $U$ は内積ないせきを保たもつ。とくに $x = y$ とすれば

∥ U x ∥^{2} = ⟨ U x, U x ⟩ = ⟨ x, x ⟩ = ∥ x ∥^{2}

なので、長ながさも保たもつ。□

Fourier 変換へんかんは、適切てきせつに正規化せいきかすると、関数空間かんすうくうかんの内積ないせきを保たもつユニタリ変換へんかんとして見みられる。

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6コンパクト作用素さようそcompact operator

無限次元むげんじげん空間くうかんでは、有界ゆうかいな集合しゅうごうから必かならず収束部分列しゅうそくぶぶんれつを取とれるとは限かぎらない。コンパクト作用素さようそcompact operatorは、有界ゆうかいな列れつを、像ぞうの側がわで収束部分列しゅうそくぶぶんれつを持もつような列れつへ送おくる作用素さようそである。

直感的ちょっかんてきには、コンパクト作用素さようそは無限次元むげんじげんの中なかでも有限次元ゆうげんじげんに近ちかい振ふる舞まいをする。積分作用素せきぶんさようその多おおくは、条件じょうけんがよいとコンパクト作用素さようそになる。

ただし、これは入口いりぐちの説明せつめいであり、厳密げんみつには Banach space や Hilbert space の位相いそう、有界作用素ゆうかいさようそ、相対そうたいコンパクトなどの定義ていぎが必要ひつようである。

7レゾルベントresolvent

線型作用素せんけいさようそ $T$ に対たいして

λ I - T

が逆作用素ぎゃくさようそを持もつとき、

R (λ, T) = (λ I - T)^{- 1}

をレゾルベントresolventという。

レゾルベントを考かんがえる理由りゆうは、固有値こゆうちを「 $λ I - T$ が逆ぎゃくを失うしなう値あたい」として見みるためである。有限次元ゆうげんじげんでは、 $\det (λ I - A) = 0$ が固有値こゆうちの条件じょうけんである。無限次元むげんじげんでは、行列式ぎょうれつしきの代かわりに、 $λ I - T$ の可逆性かぎゃくせいを調しらべる。

8半群作用素はんぐんさようそsemigroup operator

時間発展じかんはってんを表あらわす作用素さようそでは、

S (t + s) = S (t) S (s), S (0) = I

という性質せいしつが自然しぜんに現あらわれる。このような族ぞく $S (t)$ を半群作用素はんぐんさようそsemigroup operatorという。

有限次元ゆうげんじげんで

x^{'} = A x

なら、解かいは

x (t) = e^{t A} x (0)

であり、 $S (t) = e^{t A}$ が時間発展じかんはってんを表あらわす。実際じっさい、 $A$ が同おなじ行列ぎょうれつなら

e^{(t + s) A} = e^{t A} e^{s A}

である。

半群はんぐん作用素さようそは、熱方程式ねつほうていしきのような発展方程式はってんほうていしきでも重要じゅうようになる。Laplace 変換へんかんやスペクトル計算けいさんは、 $e^{t A}$ の性質せいしつを調しらべる道具どうぐになる。

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9一言ひとことでいうと

内積ないせきを持もつ空間くうかんでは、作用素さようそを核かくと像ぞうだけでなく、随伴ずいはん・自己随伴じこずいはん・ユニタリ・スペクトルから読よむ。さらに時間発展じかんはってんでは、 $e^{t A}$ や半群はんぐんとして見みることで、微分方程式びぶんほうていしきと作用素論さようそろんが接続せつぞくする。