解析力学かいせきりきがくの入口いりぐち

date2026-07-14document_iddoc_769c06d0f50862b1614930265762dcc9description解析力学の入口として、拘束条件・自由度・一般化座標を定義し、振り子を例に反力を直接追わずに運動を記述する理由を証明する講義である。prerequisites力のつり合いと運動の法則 / 仕事と力学的エネルギー / 円運動と単振動 / 束縛条件type講義statusactive

physicsanalytical-mechanicsgeneralized-coordinateslecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、解析力学かいせきりきがくを「難むずかしい公式こうしき」としてではなく、拘束条件こうそくじょうけんで動うごけない方向ほうこうを最初さいしょから消けし、本当ほんとうに動うごける自由度じゆうどだけで運動うんどうを書かく方法ほうほうとして解説かいせつする。

ニュートン力学りきがくでは、質点しつてんに働はたらく力ちからを全部ぜんぶ自由体図じゆうたいずに入いれ、成分せいぶんごとに $\sum F = m a$ を立たてる。これは基本きほんである。しかし振ふり子こ、滑なめらかな面めんの上うえの運動うんどう、剛体ごうたいの運動うんどうでは、張力ちょうりょくや垂直抗力すいちょくこうりょくのような拘束力こうそくりょくが式しきを複雑ふくざつにする。解析力学かいせきりきがくは、この複雑ふくざつさの根本こんぽんにある「使つかっている座標ざひょうが余分よぶんである」という問題もんだいを直なおす。

2用語ようごと定義ていぎ

配置はいちconfigurationとは、ある時刻じこくの系けいの位置関係いちかんけいを指定していする情報じょうほうである。

自由度じゆうどdegree of freedomとは、系けいの配置はいちを指定していするのに必要ひつような独立どくりつな数かずの個数こすうである。

拘束条件こうそくじょうけんconstraintとは、座標ざひょうの間あいだに課かされる条件じょうけんである。たとえば長ながさ $ℓ$ の糸いとにつながれた振ふり子こでは

x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}

が拘束条件こうそくじょうけんである。

一般化座標いっぱんかざひょうgeneralized coordinateとは、拘束条件こうそくじょうけんを満みたす配置はいちを指定していするために選えらぶ独立どくりつな座標ざひょうである。直交座標ちょっこうざひょうである必要ひつようはなく、角度かくどや長ながさでもよい。

仮想変位かそうへんいvirtual displacementとは、時刻じこくを固定こていしたまま、拘束条件こうそくじょうけんを破やぶらない微小びしょうな配置はいちの変化へんかである。

3方針ほうしん

解析力学かいせきりきがくでは、次つぎの順序じゅんじょで考かんがえる。

拘束条件こうそくじょうけんを確認かくにんする。
自由度じゆうどを数かぞえる。
一般化座標いっぱんかざひょう $q_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], q_{n}$ を選えらぶ。
位置いちと速度そくどを $q_{i}, \dot{q_{i}}$ で書かく。
運動うんどうエネルギー $T$ と位置いちエネルギー $U$ を書かく。
ラグランジアン $L = T - U$ から Euler-Lagrange 方程式ほうていしきを作つくる。

この順序じゅんじょを守まもる理由りゆうは、力ちからを書かく前まえに、そもそも系けいがどの方向ほうこうへ動うごけるのかを確定かくていするためである。

4整理せいり 1：振ふり子この自由度じゆうどは 1 である

長ながさ $ℓ$ の糸いとにつながれた平面内へいめんないの振ふり子こでは、拘束条件こうそくじょうけん $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ のもとで自由度じゆうどは 1 である。

4.1証明しょうめい

平面内へいめんないの質点しつてんの位置いちは、拘束こうそくがなければ 2 つの座標ざひょう $x, y$ で指定していされる。しかし振ふり子こでは

x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}

を満みたさなければならない。この式しきにより、 $x, y$ は独立どくりつではない。

角度かくど $θ$ を用もちいて

x = ℓ \sin θ, y = - ℓ \cos θ

と置おくと、

x^{2} + y^{2} = ℓ^{2} \sin^{2} θ + ℓ^{2} \cos^{2} θ = ℓ^{2}

であり、拘束条件こうそくじょうけんは自動的じどうてきに満みたされる。逆ぎゃくに、円周上えんしゅうじょうの点てんは角度かくど $θ$ で指定していできる。したがって独立どくりつな座標ざひょうは $θ$ 1 つで足たり、自由度じゆうどは 1 である。

5関係式かんけいしき 2：振ふり子この速はやさ

$x = ℓ \sin θ, y = - ℓ \cos θ$ と置おくと、質点しつてんの速はやさの二乗にじょうは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v^{2} = ℓ^{2} \dot{θ^{2}}

である。

5.1証明しょうめい

時間じかんで微分びぶんすると、

\dot{x} = ℓ \dot{θ} \cos θ, \dot{y} = ℓ \dot{θ} \sin θ

である。したがって

v^{2} = \dot{x^{2}} + \dot{y^{2}}

に代入だいにゅうすると、

v^{2} = ℓ^{2} \dot{θ^{2}} \cos^{2} θ + ℓ^{2} \dot{θ^{2}} \sin^{2} θ = ℓ^{2} \dot{θ^{2}}

である。

6関係式かんけいしき 3：理想的りそうてきな糸いとの張力ちょうりょくは仮想仕事かそうしごとをしない

長ながさが変かわらない理想的りそうてきな糸いとで拘束こうそくされた振ふり子こでは、張力ちょうりょくは許ゆるされた仮想変位かそうへんいに対たいして仕事しごとをしない。

6.1証明しょうめい

張力ちょうりょくは糸いとの方向ほうこう、つまり円えんの半径方向はんけいほうこうに働はたらく。一方いっぽう、拘束条件こうそくじょうけん $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ を破やぶらない仮想変位かそうへんいは、円周えんしゅうに沿そう接線方向せっせんほうこうである。

半径方向はんけいほうこうと接線方向せっせんほうこうは直交ちょっこうする。したがって張力ちょうりょくを $\vec{T}$ 、仮想変位かそうへんいを $δ \vec{r}$ とすると、

\vec{T} \cdot δ \vec{r} = 0

である。仮想仕事かそうしごとは力ちからと仮想変位かそうへんいの内積ないせきだから、張力ちょうりょくの仮想仕事かそうしごとは 0 である。

この事実じじつが、解析力学かいせきりきがくで理想的りそうてきな拘束力こうそくりょくを直接ちょくせつ書かかずにすむ理由りゆうである。

7具体例ぐたいれい：振ふり子このエネルギー

最下点さいかてんを位置いちエネルギーの 0 とする。関係式かんけいしき 2 より、

T = \frac{1}{2} m ℓ^{2} \dot{θ^{2}}

である。また最下点さいかてんからの高たかさは

h = ℓ (1 - \cos θ)

なので、

U = m g ℓ (1 - \cos θ)

である。したがって

L = T - U = \frac{1}{2} m ℓ^{2} \dot{θ^{2}} - m g ℓ (1 - \cos θ)

となる。

この $L$ を Euler-Lagrange 方程式ほうていしきへ入いれると

m ℓ^{2} \ddot{θ} + m g ℓ \sin θ = 0

が得えられる。この方程式ほうていしきそのものの導出どうしゅつは、次つぎの講義こうぎで作用さようの停留ていりゅうから証明しょうめいする。

8見分みわけ方かた

拘束条件こうそくじょうけんが明示めいじされていたら、自由度じゆうどを先さきに数かぞえる。
直交座標ちょっこうざひょうが余分よぶんなら、角度かくどや距離きょりなどの一般化座標いっぱんかざひょうへ変かえる。
張力ちょうりょくや垂直抗力すいちょくこうりょくが拘束こうそくを保たもつだけなら、その方向ほうこうが仮想変位かそうへんいに直交ちょっこうするかを確認かくにんする。

9どこまで成立せいりつするか

ここで扱あつかったのは、長ながさが固定こていされた糸いとのような理想的りそうてきな拘束こうそくである。摩擦まさつや空気抵抗くうきていこうのように運動うんどうに沿そってエネルギーを失うしなわせる力ちからは、 $L = T - U$ だけでは十分じゅうぶんに表あらわせない。非保存力ひほぞんりょくを扱あつかうには、一般化力いっぱんかりょくなどの追加ついかが必要ひつようになる。

10最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x = ℓ \sin θ, y = - ℓ \cos θ

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] T = \frac{1}{2} m ℓ^{2} \dot{θ^{2}}, U = m g ℓ (1 - \cos θ)

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] L = T - U

11一言ひとこと

解析力学かいせきりきがくでは、拘束条件こうそくじょうけんを満みたす一般化座標いっぱんかざひょうを選えらび、余分よぶんな反力はんりょくを式しきから消けした形かたちで運動うんどうを書かく。