ラグランジアンの基本
physicsanalytical-mechanicslagrangianeuler-lagrangelecture
1導入
この講義では、作用 S=\int L\,dt を停留させる原理と、そこから Euler-Lagrange 方程式を導く方法を説明する。
ニュートン力学では、力から加速度を求める。解析力学では、可能な運動経路の中で作用が一次の変化をもたないものを実際の運動として選ぶ。これはこの講義で基本原理として置くものであり、下では、その原理から Euler-Lagrange 方程式を導く。
2用語と定義
ラグランジアンとは、一般化座標 q、一般化速度 \dot q、時刻 t の関数
L(q,\dot q,t)
である。保存力だけを受ける基本的な系では
\boxed{L=T-U}
と置く。
作用とは、時刻 t_0 から t_1 までの経路 q(t) に対して
\boxed{S[q]=\int_{t_0}^{t_1}L(q,\dot q,t)\,dt}
で定義される量である。
変分とは、経路を
q_\varepsilon(t)=q(t)+\varepsilon\eta(t)
のように少し変える。ここで \eta(t_0)=\eta(t_1)=0 とし、端点は固定する。
Euler-Lagrange 方程式とは、
\boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0}
である。
停留作用の原理とは、端点を固定した可能な経路のうち、作用の一次の変化が 0 になる経路が実際の運動を与える、という基本原理である。この原理そのものは、この講義では証明せず採用する。
3方針
ラグランジアンの問題では、次の順序で進む。
- 一般化座標 q_i を選ぶ。
- T と U を q_i,\dot q_i で書く。
- L=T-U を作る。
- \partial L/\partial q_i と \partial L/\partial \dot q_i を計算する。
- Euler-Lagrange 方程式へ代入する。
この手順を使う理由は、力の向きを成分ごとに追う代わりに、系の自由度とエネルギーから運動方程式を直接得るためである。
4補題：変分法の基本補題
連続関数 f(t) が、端点で 0 になる任意の滑らかな関数 \eta(t) に対して
\int_{t_0}^{t_1}f(t)\eta(t)\,dt=0
を満たすなら、
f(t)=0
である。
4.1証明
背理法で示す。ある点 a で f(a)>0 だとする。f は連続なので、a の近くの小さい区間では f(t)>0 である。
その区間の中だけで正、外で 0 になる滑らかな \eta(t) を選ぶと、
\int_{t_0}^{t_1}f(t)\eta(t)\,dt>0
となり、仮定に反する。f(a)<0 の場合も、同じ区間で \eta(t)>0 を選べば積分は負になり、やはり仮定に反する。したがってどの点でも f(t)=0 である。
5方程式 1：停留作用から Euler-Lagrange 方程式が出る
端点 q(t_0),q(t_1) を固定した変分に対して作用 S[q] が停留するなら、
\boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0}
が成立する。
5.1証明
変分を
q_\varepsilon(t)=q(t)+\varepsilon\eta(t)
と置く。ただし \eta(t_0)=\eta(t_1)=0 である。作用を \varepsilon の関数として
\Phi(\varepsilon)=S[q_\varepsilon]
と書く。停留とは
\Phi'(0)=0
であることを意味する。
連鎖律より、
\Phi'(0)=\int_{t_0}^{t_1}
\left(
\frac{\partial L}{\partial q}\eta+
\frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta
\right)dt
である。第 2 項を部分積分すると、
\int_{t_0}^{t_1}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta\,dt
=
\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\eta\right]_{t_0}^{t_1}
-
\int_{t_0}^{t_1}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)\eta\,dt
である。\eta(t_0)=\eta(t_1)=0 なので境界項は 0 である。したがって
\Phi'(0)=
\int_{t_0}^{t_1}
\left(
\frac{\partial L}{\partial q}
-
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}
\right)\eta\,dt
である。任意の \eta に対して \Phi'(0)=0 だから、補題より
\frac{\partial L}{\partial q}
-
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}=0
である。整理して
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0
を得る。
6帰結 2：1 次元の保存力では Newton 方程式と一致する
1 次元で
L=\frac12m\dot x^2-U(x)
と置くと、Euler-Lagrange 方程式は
\boxed{m\ddot x=-\frac{dU}{dx}}
を与える。
6.1証明
まず
\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\dot x
である。したがって
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\ddot x
である。また
\frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{dU}{dx}
である。Euler-Lagrange 方程式
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=0
へ代入すると、
m\ddot x+\frac{dU}{dx}=0
である。したがって
m\ddot x=-\frac{dU}{dx}
を得る。これは保存力 F=-dU/dx に対する Newton 方程式 m\ddot x=F である。
7保存則 3：循環座標と保存量
ラグランジアン L(q,\dot q,t) が座標 q に明示的に依存しない、つまり
\frac{\partial L}{\partial q}=0
なら、
\boxed{p_q=\frac{\partial L}{\partial \dot q}}
は保存する。このような q を循環座標という。
7.1証明
Euler-Lagrange 方程式は
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0
である。仮定より \partial L/\partial q=0 なので、
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}=0
である。したがって
\frac{\partial L}{\partial \dot q}
は時間に依存せず一定である。これが保存量である。
8保存則 4：ラグランジアンが時刻に明示的に依存しなければエネルギーが保存する
一般化座標を q_i とし、
E=\sum_i\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-L
と置く。Euler-Lagrange 方程式が成立し、かつ \partial L/\partial t=0 なら、
\boxed{\frac{dE}{dt}=0}
である。
8.1証明
E を時間で微分する。
\frac{dE}{dt}
=
\sum_i
\left(
\ddot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}
+\dot q_i\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}
\right)
-
\frac{dL}{dt}
である。一方、
\frac{dL}{dt}
=
\sum_i
\left(
\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot q_i
+
\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i
\right)
+
\frac{\partial L}{\partial t}
である。これを代入すると、\ddot q_i\partial L/\partial \dot q_i の項は相殺し、
\frac{dE}{dt}
=
\sum_i
\dot q_i
\left(
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}
-
\frac{\partial L}{\partial q_i}
\right)
-
\frac{\partial L}{\partial t}
である。Euler-Lagrange 方程式より括弧の中は 0 である。したがって
\frac{dE}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}
である。仮定より \partial L/\partial t=0 なので、
\frac{dE}{dt}=0
である。
9具体例：質点ばね系
質量 m の物体が、ばね定数 k のばねにつながれて水平に動く。座標を x とすると、
T=\frac12m\dot x^2,\qquad U=\frac12kx^2
である。したがって
L=\frac12m\dot x^2-\frac12kx^2
である。帰結 2 より
m\ddot x=-kx
すなわち
\boxed{m\ddot x+kx=0}
を得る。これは単振動の運動方程式である。
10見分け方
- T と U が簡単に書けるなら、L=T-U を作る。
- L に現れない座標があれば、その共役運動量は保存する。
- L が時刻に明示的に依存しなければ、E=\sum_i\dot q_i(\partial L/\partial\dot q_i)-L が保存する。
11どこまで成立するか
この講義では、端点を固定した滑らかな経路と、L=T-U で書ける保存力の系を中心に扱った。摩擦のような非保存力、時間依存の拘束、電磁場のような速度依存の相互作用では、ラグランジアンの形や一般化力の扱いを拡張する必要がある。
12最終形
\boxed{S[q]=\int_{t_0}^{t_1}L(q,\dot q,t)\,dt}
\boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0}
\boxed{p_q=\frac{\partial L}{\partial \dot q}\quad(q\text{ が循環座標なら保存})}
\boxed{E=\sum_i\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-L}
13一言
ラグランジアンは、作用を通して運動方程式、対称性、保存量を同じ枠組みで結ぶ道具である。