重心系じゅうしんけいでの衝突しょうとつ

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、重心系じゅうしんけい（CM系けい）へ移うつると全運動量ぜんうんどうりょうが 0 になり、衝突しょうとつが対称的たいしょうてきに見みえるという点てんにある。実験室系じっけんしつけいでは 2 物体ぶったいの速度そくどが非対称ひたいしょうで式しきが煩雑はんざつになる。しかし重心系じゅうしんけいでは重心じゅうしんが静止せいししているため、1 次元じげんの弾性衝突だんせいしょうとつなら速度そくどは向むきだけを反転はんてんすればよい。

このページの位置いちづけ

このページは高校こうこう本線ほんせんより一段いちだん発展はってんである。1 次元じげん衝突しょうとつの基本きほんは衝突しょうとつと運動量保存うんどうりょうほぞんのページで十分じゅうぶんであり、ここでは視点変換してんへんかんで計算けいさんを簡約かんやくする方法ほうほうを学まなぶ。

このページで解とけるようになること

• 重心速度じゅうしんそくど $\overrightarrow{V}$\vec{V} を求もとめて Lab系けいから CM系けいへ移うつる
• 1 次元じげん 2 体たい衝突しょうとつを CM系けいで対称的たいしょうてきに解とく
• 1 次元じげんの弾性衝突だんせいしょうとつで「CM系けいでは速度そくどが反転はんてんする」という見方みかたを使つかう
• 失うしなわれるエネルギーが CM系けいの内部運動ないぶうんどうに対応たいおうすることを理解りかいする

方針ほうしん

まず Lab系けいでの重心速度じゅうしんそくど $\overrightarrow{V}$\vec{V} を求もとめる。つぎに

$\overrightarrow{u_i}=\overrightarrow{v_i}-\overrightarrow{V}$\vec{u}_i=\vec{v}_i-\vec{V}

で CM系けいの速度そくどへ移うつる。CM系けいで衝突しょうとつを処理しょりしたあと、最後さいごに $\overrightarrow{V}$\vec{V} を足たして Lab系けいへ戻もどす。

適用条件てきようじょうけん

• 本線ほんせんは 1 次元じげん 2 体たい衝突しょうとつである
• 外力がいりょくの力積りきせきが無視むしでき、全運動量ぜんうんどうりょうが保存ほぞんされるとする
• 非相対論ひそうたいろんの力学りきがくを前提ぜんていとする

用語ようごと定義ていぎ

見方みかたの整理せいり

まず重心速度じゅうしんそくど $\overrightarrow{V}$\vec{V} を計算けいさんする。各かく物体ぶったいの速度そくどから $\overrightarrow{V}$\vec{V} を引ひいて CM系けいの速度そくど $\overrightarrow{u_i}$\vec{u}_i を得える。CM系けいで衝突しょうとつを解析かいせきしたあと、$\overrightarrow{V}$\vec{V} を足たしてLab系けいへ戻もどす。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

電車でんしゃの中なかでボールを投なげると、中なかの観測者かんそくしゃには単純たんじゅんに見みえ、地上ちじょうでは複雑ふくざつに見みえる。CM系けいは「重心じゅうしんに乗のって衝突しょうとつを見みる視点してん」であり、対称的たいしょうてきな問題もんだいへ変換へんかんする。

厳密げんみつな説明せつめい

具体例ぐたいれい: 同質量どうしつりょうの弾性衝突だんせいしょうとつ

Lab系けいで、同おなじ質量しつりょう $m$m の 2 物体ぶったいが $u$u と 0 で衝突しょうとつするとする。重心速度じゅうしんそくどは

$V=\frac{mu+0}{2m}=\frac{u}{2}$V=\frac{mu+0}{2m}=\frac{u}{2}

である。したがって CM系けいでは

$u_1=\frac{u}{2},u_2=-\frac{u}{2}$u_1=\frac{u}{2},\qquad u_2=-\frac{u}{2}

となる。弾性衝突だんせいしょうとつなら反転はんてんして

$u_{1^{\prime }}=-\frac{u}{2},u_{2^{\prime }}=\frac{u}{2}$u_1'=-\frac{u}{2},\qquad u_2'=\frac{u}{2}

であり、Lab系けいへ戻もどすと

$v_{1^{\prime }}=0,v_{2^{\prime }}=u$v_1'=0,\qquad v_2'=u

となる。速度交換そくどこうかんが一瞬いっしゅんで見通みとおせる。

CM系けいで解とく手順てじゅん

1 次元じげん 2 体たい衝突しょうとつを CM系けいで解とくときは、次つぎの順じゅんに固定こていすると符号ふごうが崩くずれにくい。

1. Lab系けいで重心速度じゅうしんそくど $V$V を求もとめる
2. $u_i=v_i-V$u_i=v_i-V で CM系けいの速度そくどへ移うつる
3. 衝突しょうとつの種類しゅるいに応おうじて $u_{i^{\prime }}$u_i' を決きめる
4. $v_{i^{\prime }}=u_{i^{\prime }}+V$v_i'=u_i'+V で Lab系けいへ戻もどす

弾性衝突だんせいしょうとつなら 1 次元じげんでは $u_{i^{\prime }}=-u_i$u_i'=-u_i である。完全非弾性衝突かんぜんひだんせいしょうとつなら CM系けいでは衝突後しょうとつごに $u_{1^{\prime }}=u_{2^{\prime }}=0$u_1'=u_2'=0 となり、Lab系けいでは 2 物体ぶったいが重心速度じゅうしんそくど $V$V で動うごく。

Lab系けいと CM系けいで変かわらないもの

Lab系けいから CM系けいへ移うつると、各物体かくぶったいの速度そくどは変かわる。しかし 2 物体ぶったいの相対速度そうたいそくど

$\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}$\vec{v}_1-\vec{v}_2

は変かわらない。なぜなら、両方りょうほうの速度そくどから同おなじ重心速度じゅうしんそくど $\overrightarrow{V}$\vec{V} を引ひくからである。

$(\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{V})-(\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{V})=\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}$(\vec{v}_1-\vec{V})-(\vec{v}_2-\vec{V})=\vec{v}_1-\vec{v}_2

したがって反発係数はんぱつけいすうのように相対速度そうたいそくどで定義ていぎされる量りょうは、Lab系けいでも CM系けいでも同おなじ値あたいとして扱あつかえる。

見分みわけ方かた

• 2体衝突にたいしょうとつで計算けいさんが複雑ふくざつ → CM系けいに移うつると単純たんじゅんになる
• 弾性衝突だんせいしょうとつの一般解いっぱんかいを求もとめる → CM系けいでの「速度反転そくどはんてん」から導出どうしゅつする
• 最大さいだいエネルギー損失そんしつ → $\frac{1}{2}\mu |\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}{|}^2$\frac{1}{2}\mu|\vec{v}_1 - \vec{v}_2|^2 の公式こうしきを使用しようする
• 散乱問題さんらんもんだい（入射にゅうしゃ角度かくど・散乱さんらん角度かくど） → CM系けいと Lab系けいの角度かくど変換へんかんを使用しようする

どこまで成なり立たつか

重心系じゅうしんけいの手法しゅほうは、外力がいりょくが無視むしできる（または衝突しょうとつ時間じかんが十分じゅうぶん短みじかい）条件じょうけんで有効ゆうこうである。多体たたい衝突しょうとつや散乱さんらん理論りろんにも同様どうようの考かんがえ方かたが拡張かくちょうできる。相対論的そうたいろんてき衝突しょうとつでは CM系けい（零れい運動量うんどうりょう系けい）への変換へんかんにローレンツ変換へんかんが必要ひつようになる。

よくある誤あやまり

• Lab系けいの速度そくどと CM系けいの速度そくどを混まぜる
• 重心速度じゅうしんそくど $\overrightarrow{V}$\vec{V} を求もとめずに議論ぎろんを始はじめる
• 弾性衝突だんせいしょうとつ in CM を「停止ていしする」と誤解ごかいする
• エネルギー損失そんしつが Lab系けいの全運動ぜんうんどうから直接ちょくせつ消きえると思おもう

最終形さいしゅうけい

これは 1 次元じげんの弾性衝突だんせいしょうとつを CM系けいで見みたときの速度反転そくどはんてんである。2 次元じげんや 3 次元じげんの散乱さんらんでは、CM系けいで速はやさは保たもたれるが、向むきは散乱角さんらんかくに依存いぞんする。

この式しきは 1 次元じげん衝突しょうとつで用もちいる。

一言ひとことでいうと

CM系けいに移うつると全ぜん運動量うんどうりょうが 0 になり、弾性衝突だんせいしょうとつは「CM系けいでの速度そくどの向むきが逆転ぎゃくてんする」の一言ひとことに帰着きちゃくする。

関連かんれんリンク

文字式もじしきの単位たんい

重心系じゅうしんけいでは、まず重心速度じゅうしんそくどを引ひく。重心速度じゅうしんそくど $V_G[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$V_G\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] は

である。分子ぶんしは運動量うんどうりょう $\left[\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right]$[\mathrm{kg\,m/s}]、分母ぶんぼは質量しつりょう $\left[\mathrm{k}\mathrm{g}\right]$[\mathrm{kg}] なので、結果けっかは速度そくど $\left[\mathrm{m}/\mathrm{s}\right]$[\mathrm{m/s}] になる。重心系じゅうしんけいでの速度そくどは

$u_i=v_i-V_G$u_i=v_i-V_G

と定義ていぎし、同おなじ速度そくどの単位たんいどうしを引ひいていることを確認かくにんする。

CM系けいでは、Lab系けいの速度そくど $\overrightarrow{v_i}[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$\vec{v}_i\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] から重心速度じゅうしんそくど $\overrightarrow{V}[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$\vec{V}\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] を引ひいて、$\overrightarrow{u_i}=\overrightarrow{v_i}-\overrightarrow{V}[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$\vec{u}_i=\vec{v}_i-\vec{V}\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] を作つくる。相対速度そうたいそくども $\left[\mathrm{m}/\mathrm{s}\right]$[\mathrm{m/s}] であり、系けいを変かえても単位たんいは変かわらない。

CM系けいの運動うんどうエネルギー $K_{\mathrm{C}\mathrm{M}}[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K_{\mathrm{CM}}\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は、$\frac{1}{2}{m}_1{u}_{1^2}+\frac{1}{2}{m}_2{u}_{2^2}[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] である。換算質量かんさんしつりょう $\mu [\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$\mu\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] を使つかえば、$\frac{1}{2}\mu |\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}{|}^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}\mu|\vec{v}_1-\vec{v}_2|^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] と書かける。ここでも速度差そくどさは $\left[\mathrm{m}/\mathrm{s}\right]$[\mathrm{m/s}] である。

換算質量かんさんしつりょうで 2 物体ぶったいの衝突しょうとつを見みる

2 物体ぶったいの相対運動そうたいうんどうは、換算質量かんさんしつりょう $\mu [\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$\mu\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] を使つかうと 1 つの物体ぶったいの運動うんどうのように扱あつかえる。

$\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}

ここで $m_1[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m_1\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、$m_2[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m_2\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] は 2 物体ぶったいの質量しつりょうである。CM系けいでの内部運動ないぶうんどうエネルギーは

$K_{\mathrm{C}\mathrm{M}}=\frac{1}{2}\mu |\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}{|}^2$K_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{2}\mu|\vec{v}_1-\vec{v}_2|^2

と書かける。$\mu [\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$\mu\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] と相対速度そうたいそくど $|\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}|[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$|\vec{v}_1-\vec{v}_2|\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] から、単位たんいは $\left[\mathrm{J}\right]$[\mathrm{J}] になる。

完全非弾性衝突かんぜんひだんせいしょうとつで失うしなわれるエネルギー

完全非弾性衝突かんぜんひだんせいしょうとつでは、衝突後しょうとつごに 2 物体ぶったいが一体いったいとなって動うごく。このとき CM系けいでは、衝突後しょうとつごの相対速度そうたいそくどが $0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] になる。したがって、衝突前しょうとつまえに CM系けいがもっていた内部運動ないぶうんどうエネルギーが最大限さいだいげん失うしなわれる。

Lab系けいで見みると、重心じゅうしんの並進へいしんエネルギーは残のこる。そのため、全すべての運動うんどうエネルギーが失うしなわれるわけではない。失うしなわれるのは、重心じゅうしんから見みた内部運動ないぶうんどうの部分ぶぶんである。

主要文字式しゅようもじしきの単位たんい確認かくにん

Lab系けいの速度そくど $v_i[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v_i\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、重心速度じゅうしんそくど $V[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$V\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、CM系けいの速度そくど $u_i[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$u_i\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] は、すべて速度そくどの単位たんいをもつ。$u_i=v_i-V[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$u_i=v_i-V\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] では、同おなじ単位たんいの量りょうどうしを引ひいている。

換算質量かんさんしつりょう $\mu [\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$\mu\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、相対速度そうたいそくど $v_1-v_2[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v_1-v_2\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] を使つかうと、$\frac{1}{2}\mu (v_1-v_2{)}^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}\mu(v_1-v_2)^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は CM系けいでの内部運動ないぶうんどうエネルギーになる。反発係数はんぱつけいすう $e[1;1]$e\ [\mathrm{1};\ \mathsf{1}] は無次元むじげんである。

数式内すうしきないでの単位たんい明示めいじ

CM系けいの速度そくどは
$u_i=v_i-V$u_i = v_i - V
である。換算質量かんさんしつりょうを使つかうと、CM系けいでの内部運動ないぶうんどうエネルギーは

$K_{\mathrm{C}\mathrm{M}}=\frac{1}{2}\mu |v_1-v_2{|}^2$K_{\mathrm{CM}} = \frac{1}{2} \mu |v_1-v_2|^2

と読よめる。

CM系けいで解とく典型手順てんけいてじゅん

CM系けいで衝突しょうとつを解とくときは、まず Lab系けいで重心速度じゅうしんそくど $V[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$V\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] を求もとめる。次つぎに、各物体かくぶったいの速度そくどから $V[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$V\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] を引ひいて、CM系けいの速度そくど $u_1[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$u_1\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、$u_2[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$u_2\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] を作つくる。

弾性衝突だんせいしょうとつなら、CM系けいでは衝突後しょうとつごに速度そくどの向むきが反転はんてんする。非弾性ひだんせいなら、相対速度そうたいそくどが反発係数はんぱつけいすう $e[1;1]$e\ [\mathrm{1};\ \mathsf{1}] に従したがって小ちいさくなる。最後さいごに、CM系けいの速度そくどへ $V[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$V\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] を足たして Lab系けいへ戻もどす。

この手順てじゅんでは、重心じゅうしんの並進へいしんと内部運動ないぶうんどうを分わけて見みる。失うしなわれる運動うんどうエネルギーは、主おもに CM系けいで見みた内部運動ないぶうんどうの部分ぶぶんである。