ボーア模型の基本
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1導入
この講義では、ボーア模型を「電子が古典力学どおりに任意の円軌道を回る模型」ではなく、許された軌道だけを選ぶ量子条件を加えた模型として解説する。
水素原子の線スペクトルは、連続的な色ではなく特定の波長だけを示す。これは、原子のエネルギーが任意の値を取れないことを示唆する。ボーア模型は、円運動の式に量子条件を足して、この離散性を計算できる形にした模型である。
2用語と定義
この講義では、水素原子を、中心の陽子と、その周りを半径 r、速さ v で円運動する電子として扱う。
量子条件とは、電子の角運動量が
\boxed{mvr=n\hbar\qquad(n=1,2,3,\dots)}
を満たす、というボーア模型の仮定である。ここで m は電子の質量、\hbar=h/(2\pi) である。
ボーア半径 a_0 は
a_0=\frac{\hbar^2}{mke^2}
で定義される長さである。k はクーロン力の定数、e は電気素量である。
3方針
半径やエネルギーを求めるときは、次の 2 本の式を連立する。
\frac{mv^2}{r}=\frac{ke^2}{r^2}
mvr=n\hbar
前者は円運動の力学であり、後者はボーア模型で追加する量子条件である。この 2 つを混同しないことが重要である。
4基本仮定
ボーア模型では、次を仮定する。
- 電子は陽子からのクーロン力を向心力として円運動する。
- 安定な軌道では mvr=n\hbar が成立する。
- 準位の間を遷移するときだけ、エネルギー差を光子として放出または吸収する。
これらは古典力学だけから証明する命題ではなく、実験事実を説明するために置く模型の仮定である。
5関係式 1：許される軌道半径
ボーア模型の仮定のもとで、主量子数 n の軌道半径は
\boxed{r_n=n^2a_0=\frac{n^2\hbar^2}{mke^2}}
である。
5.1証明
電子に働くクーロン力が向心力になるので、
\frac{mv^2}{r}=\frac{ke^2}{r^2}
である。両辺に r を掛けると
mv^2=\frac{ke^2}{r}
である。
また、量子条件
mvr=n\hbar
より
v=\frac{n\hbar}{mr}
である。これを mv^2=ke^2/r に代入すると、
m\left(\frac{n\hbar}{mr}\right)^2=\frac{ke^2}{r}
すなわち
\frac{n^2\hbar^2}{mr^2}=\frac{ke^2}{r}
である。r>0 なので両辺に r^2 を掛けて
\frac{n^2\hbar^2}{m}=ke^2r
を得る。したがって
r_n=\frac{n^2\hbar^2}{mke^2}=n^2a_0
である。
6関係式 2：水素原子のエネルギー準位
ボーア模型の仮定のもとで、主量子数 n のエネルギーは
\boxed{E_n=-\frac{mk^2e^4}{2\hbar^2}\frac{1}{n^2}}
である。
6.1証明
電子の全エネルギーは、運動エネルギー K と位置エネルギー U の和である。
E=K+U
運動エネルギーは
K=\frac12mv^2
であり、陽子から距離 r にある電子の電気的な位置エネルギーを、無限遠で 0 と取ると
U=-\frac{ke^2}{r}
である。
円運動の式から
mv^2=\frac{ke^2}{r}
なので、
K=\frac12mv^2=\frac{ke^2}{2r}
である。したがって
E=\frac{ke^2}{2r}-\frac{ke^2}{r}
=-\frac{ke^2}{2r}
である。関係式 1 の
r_n=\frac{n^2\hbar^2}{mke^2}
を代入すると、
E_n=-\frac{ke^2}{2}\frac{mke^2}{n^2\hbar^2}
=-\frac{mk^2e^4}{2\hbar^2}\frac{1}{n^2}
を得る。
7関係式 3：線スペクトルの振動数
m>n とし、電子が準位 m から準位 n へ移るとき、放出される光の振動数は
\boxed{h\nu=E_m-E_n}
を満たす。
7.1証明
関係式 2 より、E_n は n が小さいほど負に大きく、m>n なら
E_m>E_n
である。遷移によって原子のエネルギーは E_m から E_n へ減る。減ったエネルギーは
E_m-E_n
である。原子が光子 1 個を放出するなら、そのエネルギーは h\nu である。エネルギー保存より
h\nu=E_m-E_n
である。
8直感的な整理
円運動だけなら、半径 r は連続的に選べる。しかし mvr=n\hbar を加えると、n=1,2,3,\dots に対応する半径だけが残る。半径が飛び飛びなら、そこから決まるエネルギーも飛び飛びになる。
この講義では量子条件を仮定として置いた。次の物質波の講義では、円周に波が整数回だけ収まるという見方から、同じ条件を見直す。
9見分け方
- 水素原子、半径、速さが問われたら、円運動と量子条件を連立する。
- エネルギー準位が問われたら、E=K+U と U=-ke^2/r を使う。
- 線スペクトルが問われたら、準位差を h\nu に等しいと置く。
10どこまで成立するか
ボーア模型は、水素原子の線スペクトルを説明するうえで有効な模型である。しかし、多電子原子や電子の空間的な広がりを完全に扱うには、波動関数を用いる量子力学が必要である。
11最終形
\boxed{\frac{mv^2}{r}=\frac{ke^2}{r^2}}
\boxed{mvr=n\hbar}
\boxed{r_n=n^2a_0}
\boxed{E_n=-\frac{mk^2e^4}{2\hbar^2}\frac1{n^2}}
12一言
ボーア模型は、円運動の力学に量子条件を加え、原子のエネルギーが飛び飛びになることを計算する模型である。