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積分と計算法-基本演習
mathcalculusexerciseintegralfundamental-theorem
演習方針
定積分は局所的な寄与の総和であり、不定積分は原始関数の探索である。微分積分学の基本定理は、この 2 つを接続する。
問題 1
右端点を用いるリーマン和から
\int_0^1 x^2\,dx
を求めよ。
解答例
○
区間 [0,1] を n 等分する。\Delta x=1/n、右端点は x_i=i/n である。したがってリーマン和は
\sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^2\frac{1}{n}
=
\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2
=
\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
である。n\to\infty とすると
\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac13
である。よって
\int_0^1x^2\,dx=\frac13
である。
解説
この問題は、積分を公式ではなく小区間の寄与の総和として確認している。リーマン和では、幅と高さを掛けた量を足し合わせ、その極限を取る。
よくある誤り
\Delta x を掛け忘れる誤りがある。リーマン和の 1 項は高さだけでなく、小区間の幅も含む。
問題 2
\int_{-1}^{1}x\,dx
と、y=x、x 軸、x=-1、x=1 で囲まれる実面積を求めよ。
解答例
○
F(x)=x^2/2 とすると、
\int_{-1}^{1}x\,dx=F(1)-F(-1)=\frac12-\frac12=0
である。一方、実面積は絶対値を取るため、
\int_{-1}^{1}|x|\,dx
=
2\int_0^1x\,dx
=1
である。
解説
定積分は符号付き面積である。x 軸の下の部分は負として数えるため、実面積とは異なる場合がある。
よくある誤り
定積分を常に面積と同一視する誤りがある。面積を求めるときは、符号が変わる点で区間を分割する。
問題 3
G(x)=\int_1^x(t^2+1)\,dt
とする。G'(x) を求めよ。
解答例
○
t^2+1 は連続であるため、微分積分学の基本定理を使用できる。したがって
G'(x)=x^2+1
である。
解説
G(x) は 1 から x までの累積量である。微分すると、上端を少し動かしたときに追加される局所的な寄与、つまり x^2+1 が現れる。
よくある誤り
積分を先に完全に計算しなければならない、と考える誤りがある。微分積分学の基本定理は、累積関数の微分を直接に与える。
問題 4
H(x)=\int_x^{x^2}\sin t\,dt
の導関数を求めよ。
解答例
○
上端と下端がどちらも x に依存しているので、
H(x)=\int_0^{x^2}\sin t\,dt-\int_0^x\sin t\,dt
と分解する。連鎖律と微分積分学の基本定理より
H'(x)=\sin(x^2)\cdot 2x-\sin x
である。
解説
積分区間の向きと端点の動きが同時に効く問題である。下端が動くときは符号が反転するため、固定端を導入して分解すると安全である。
よくある誤り
H'(x)=\sin(x^2)-\sin x として、x^2 の連鎖律を忘れる誤りがある。端点が関数である場合は、その端点の導関数も掛かる。
問題 5
\int 2x\cos(x^2)\,dx
と
\int xe^x\,dx
を計算せよ。
解答例
○
第一の積分では u=x^2 と置換する。du=2x\,dx なので
\int 2x\cos(x^2)\,dx
=
\int\cos u\,du
=
\sin u+C
=
\sin(x^2)+C
である。
第二の積分では部分積分を使用する。f=x、g'=e^x と置くと、f'=1、g=e^x である。したがって
\int xe^x\,dx
=xe^x-\int e^x\,dx
=xe^x-e^x+C
である。
解説
置換積分は連鎖律の逆向きであり、内側の導関数が外側に現れる場合に自然である。部分積分は積の微分公式の逆向きであり、一方を微分すると簡単になる場合に選択する。
よくある誤り
置換積分で du に対応する因子を確認しない誤りがある。また、部分積分でどちらを微分するかを無作為に選ぶと、計算が複雑になる。