ODE の方法選択ほうほうせんたく-出口演習でぐちえんしゅう

date2026-07-13document_iddoc_d6858159a760e8ef065f20aa5d543d02description求める成果と方程式の構造からODE・数値・PDEの方法を選び、適用条件と次候補まで説明する出口演習。prerequisitesODE の方法選択と次のトラックtype問題演習content_typeexercisestatusactive

mathdifferential-equationsmethodsmodelingexercise

data/lecture/math/differential-equations/laplace-transforms-series-and-modeling.lecture.n.md

1答こたえ方かた

各問かくもんで、(1) 欲ほしい成果せいか、(2) 方程式ほうていしきの構造こうぞう、(3) 第一候補だいいちこうほ、(4) 適用条件てきようじょうけん、(5) 条件じょうけんが外はずれたときの次候補つぎこうほを答こたえる。計算けいさんだけでなく、なぜその方法ほうほうを選えらぶかを説明せつめいする。

2問題もんだい 1

y^{'}' + y = H (t - 1) + δ (t - 2), y (0) = y^{'} (0) = 0

の因果的応答いんがてきおうとうを求もとめたい。方法ほうほうを選えらび、通常入力つうじょうにゅうりょくとデルタ入力にゅうりょくで必要ひつような解かいの意味いみを区別くべつせよ。

2.1解答例かいとうれい

○

片側時間かたがわじかんの定数係数線型初期値問題ていすうけいすうせんけいしょきちもんだいで遅延ちえんと衝撃しょうげきを含ふくむため、第一候補だいいちこうほはラプラス変換へんかんである。Heaviside 入力にゅうりょくには区分的連続性くぶんてきれんぞくせいと指数位数しすういすうを、デルタ入力にゅうりょくには分布ぶんぷとしての解釈かいしゃくを使つかう。変換へんかんすると

y (t) = H (t - 1) (1 - \cos (t - 1)) + H (t - 2) \sin (t - 2)

を得える。 $t = 1$ では $y, y^{'}$ が連続れんぞくで、 $t = 2$ では $y$ が連続れんぞく、 $y^{'} (2 +) - y^{'} (2 -) = 1$ である。次候補つぎこうほはインパルス応答おうとうとの因果畳いんがたたみ込こみ、または切替時刻きりかえじこくごとの区分解くぶんかいと跳躍条件ちょうやくじょうけんである。

3問題もんだい 2

x^{2} y^{'}' + x y^{'} + (x^{2} - ν^{2}) y = 0

について、 $x = 0$ の近傍きんぼうと $x = 1$ の近傍きんぼうで局所解きょくしょかいを構成こうせいしたい。それぞれの第一候補だいいちこうほを選えらべ。

3.1解答例かいとうれい

○

$x = 0$ は最高階係数さいこうかいけいすうが 0 になるが、正規化後せいきかごの $x P (x) = 1$ 、 $x^{2} Q (x) = x^{2} - ν^{2}$ は解析的かいせきてきなので正則特異点せいそくとくいてんであり、Frobenius 法ほうが第一候補だいいちこうほである。 $x = 1$ は通常点つうじょうてんなのでべき級数法きゅうすうほうを使つかう。不規則特異点ふきそくとくいてんなら Frobenius 法ほうを機械的きかいてきに使つかわず、漸近法ぜんきんほうや数値法すうちほうを検討けんとうする。

4問題もんだい 3

x^{'} = x, y^{'} = - y^{3}, z^{'} = - 2 z

の原点げんてんについて、Jacobian の固有値こゆうちは $1, 0, - 2$ である。0 を含ふくむことを理由りゆうに「線型化せんけいかでは判定不能はんていふのう」としてよいか。

4.1解答例かいとうれい

○

欲ほしい成果せいかは局所安定性きょくしょあんていせいで、第一候補だいいちこうほは線型化せんけいかである。正せいの実部じつぶをもつ固有値こゆうち 1 があるため、0 の固有値こゆうちを併有へいゆうしていても原点げんてんは不安定ふあんていと判定はんていできる。「正せいの実部じつぶがなく、実部じつぶ 0 を含ふくむ」ときに初はじめて非線型項ひせんけいこうの追加解析ついかかいせきが必要ひつようになる。

5問題もんだい 4

u^{'} = - 1000 (u - \cos t) - \sin t, u (0) = 0

を $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 10$ で数値近似すうちきんじしたい。方程式ほうていしきは摂動せつどうに $e^{- 1000 t}$ の速はやい減衰尺度げんすいしゃくどをもち、陽的方法ようてきほうほうでは安定性あんていせいのため極端きょくたんに小ちいさい刻きざみ幅はばが必要ひつようになる。方法ほうほうと検証けんしょうを提案ていあんせよ。

5.1解答例かいとうれい

○

これは硬かたい初期値問題しょきちもんだいなので、後退こうたい Euler 法ほうなど、負ふの実軸方向じつじくほうこうで非常ひじょうに速はやい減衰率げんすいりつに対たいして増幅率ぞうふくりつが 0 へ近ちかづく L 安定あんていな陰解法いんかいほうを第一候補だいいちこうほとする。各段階かくだんかいの代数方程式だいすうほうていしきを所定精度しょていせいどで解とき、刻きざみ幅はばを半分はんぶんにした解かいとの差さを確認かくにんする。この問題もんだいでは $u (t) = \cos t - e^{- 1000 t}$ が厳密解げんみつかいなので、大域誤差たいいきごさも直接検証ちょくせつけんしょうできる。次候補つぎこうほは安定性制約あんていせいせいやくを満みたす適応刻てきおうきざみの陽的方法ようてきほうほうや、線型減衰項せんけいげんすいこうを厳密げんみつに積分せきぶんする指数積分法しすうせきぶんほうである。

6問題もんだい 5

細ほそい棒ぼうの温度おんどについて、内部温度分布ないぶおんどぶんぷと端点たんてんからの熱交換ねつこうかんを予測よそくしたい。ODE と PDE のどちらを選えらび、問題設定もんだいせっていに何なにを含ふくめるべきか。

6.1解答例かいとうれい

○

位置いちごとの温度場おんどばを成果せいかとするため、局所保存則きょくしょほぞんそくと Fourier の構成則こうせいそくから熱方程式ねつほうていしきを選えらぶ。領域りょういき、初期温度しょきおんど、係数けいすうと解かいのクラスに加くわえ、外向そとむき法線ほうせんを $n$ とする符号規約ふごうきやくで $- K \partial_{n} T = h (T - T_{e n v})$ という Robin 境界条件きょうかいじょうけんを指定していする。内部温度差ないぶおんどさを無視むしできるなら、次候補つぎこうほとして集中熱容量しゅうちゅうねつようりょう ODE へ簡約かんやくできる。

7問題もんだい 6

線型せんけい PDE を空間方向くうかんほうこうに解析かいせきするとき、(a) 有限区間ゆうげんくかんで斉次境界条件せいじきょうかいじょうけんがある場合ばあいと、(b) 全空間ぜんくうかんの定数係数問題ていすうけいすうもんだいで、第一候補だいいちこうほを分わけよ。

7.1解答例かいとうれい

○

(a) では境界条件きょうかいじょうけんを満みたす互たがいに直交ちょっこうする固有関数こゆうかんすうで対象たいしょうを展開てんかいできるなら、変数分離へんすうぶんり・Fourier 級数きゅうすうが第一候補だいいちこうほである。(b) では全空間ぜんくうかんの定数係数ていすうけいすうにより Fourier 変換へんかんが第一候補だいいちこうほである。非斉次境界条件ひせいじきょうかいじょうけんは先さきに斉次化せいじかする。不規則領域ふきそくりょういき・非線型問題ひせんけいもんだい・展開条件てんかいじょうけんを満みたさない場合ばあいは、領域りょういきに応おうじた固有関数こゆうかんすうや数値法すうちほうを次候補つぎこうほとする。