二次形式にじけいしきquadratic form・最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomial・ジョルダン-基本演習きほんえんしゅう

1演習えんしゅう方針ほうしん

二次形式にじけいしきquadratic formは、方向ほうこうごとの符号ふごうと伸縮しんしゅくを調しらべる道具どうぐである。最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialとジョルダン標準形ひょうじゅんけいJordan normal formは、固有値こゆうちeigenvalueだけでは見みえない「対角化たいかくかdiagonalizationできない成分せいぶんcomponent」を記録きろくする。

2問題もんだい 1

の正定値性せいていちせいpositive definitenessを判定はんていせよ。

2.1解答例かいとうれい

対応たいおうする対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは

である。固有値こゆうちeigenvalueは $3$3 と $1$1 で、どちらも正せいである。したがって $q$q は正定値せいていちpositive definiteである。

2.2解説かいせつ

二次形式にじけいしきquadratic formを固有方向こゆうほうこうeigendirectionに沿そって読よむと、平方へいほうの和わに分解ぶんかいできる。係数けいすうcoefficientである固有値こゆうちeigenvalueがすべて正せいなら、零れいでない入力にゅうりょくに対たいして正せいになる。

3問題もんだい 2

を対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixで表あらわし、正定値せいていちpositive definite・非負定値ひふていちpositive semidefinite・不定ふていindefiniteのどれであるかを判定はんていせよ。

3.1解答例かいとうれい

対応たいおうする対称行列たいしょうぎょうれつsymmetric matrixは

である。$x=1,y=0,z=0$x=1,y=0,z=0 では $q(1,0,0)=2>0$q(1,0,0)=2>0 であり、$x=0,y=0,z=1$x=0,y=0,z=1 では $q(0,0,1)=-1<0$q(0,0,1)=-1<0 である。したがって $q$q は不定ふていindefiniteである。

3.2解説かいせつ

正定値性せいていちせいpositive definitenessは全すべての非零ひれいベクトルで正せいになることを要求ようきゅうする。正せいになる方向ほうこうと負ふになる方向ほうこうが両方りょうほうあれば不定ふていindefiniteである。

4問題もんだい 3

について、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが $(t-1{)}^2$(t-1)^2 であることを説明せつめいせよ。

4.1解答例かいとうれい

だが、

である。したがって $J$J を零行列れいぎょうれつzero matrixにする最低次数さいていじすうの首一多項式しゅいちたこうしきは $(t-1{)}^2$(t-1)^2 である。

4.2解説かいせつ

固有値こゆうちeigenvalueだけなら $(t-1)$(t-1) で足たりそうに見みえる。しかし $J-I\ne 0$J-I\ne0 なので、非対角成分ひたいかくせいぶんが残のこっている。この残のこりがジョルダン標準形ひょうじゅんけいJordan normal formで扱あつかう情報じょうほうである。

5問題もんだい 4

の最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialを求もとめ、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialだけでは区別くべつできない情報じょうほうを説明せつめいせよ。

5.1解答例かいとうれい

$D-I=0$D-I=0 なので

である。$E$E では $(E-I)(E-2I)=0$(E-I)(E-2I)=0 であり、どちらか 1 つの因子いんしだけでは零行列れいぎょうれつzero matrixにならないので

である。$J$J では $J-I\ne 0$J-I\ne0 だが $(J-I{)}^2=0$(J-I)^2=0 なので

である。

5.2解説かいせつ

$D$D と $J$J はどちらも特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialが $(t-1{)}^2$(t-1)^2 である。しかし $D$D は対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixで、$J$J は対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableではない。最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialは、この違ちがいを重根じゅうこんの有無うむとして記録きろくする。

6問題もんだい 5

$N=A-\lambda I$N=A-\lambda I が 4 次元じげんdimensionの空間くうかんで冪零べきれいnilpotentに作用さようし、

であるとする。$\lambda$\lambda に対たいするジョルダンブロックの大おおきさを求もとめよ。

6.1解答例かいとうれい

$\dim \ker N$\dim\ker N はジョルダンブロックの個数こすうを表あらわすので、ブロックは 2 個こである。差さを取とると、

となる。これは、大おおきさ 1 以上いじょうのブロックが 2 個こ、大おおきさ 2 以上いじょうのブロックが 1 個こ、大おおきさ 3 以上いじょうのブロックが 1 個こであることを意味いみする。したがってブロックの大おおきさは 3 と 1 である。

6.2解説かいせつ

核かくkernelの次元じげんdimensionの増ふえ方かたは、ジョルダン鎖さJordan chainがどこまで続つづくかを表あらわす。これは、一般化いっぱんか固有こゆうベクトルgeneralized eigenvectorが $N$N を作用さようさせるたびに鎖さを 1 段だんずつ下おりるためである。

7問題もんだい 6

について、$N=A-2I$N=A-2I とおく。$\ker N$\ker N、$\ker N^2$\ker N^2、$\ker N^3$\ker N^3 を求もとめ、一般化いっぱんか固有こゆうベクトルgeneralized eigenvectorのジョルダン鎖さJordan chainを 1 つ作つくれ。また、$e^{tA}$e^{tA} を求もとめよ。

7.1解答例かいとうれい

であり、$N(x,y,z{)}^T=(y,z,0{)}^T$N(x,y,z)^T=(y,z,0)^T である。したがって

である。また

なので、$e_1,e_2,e_3$e_1,e_2,e_3 は長ながさ 3 のジョルダン鎖さJordan chainを作つくる。

$A=2I+N$A=2I+N、$N^3=0$N^3=0 より、

である。

7.2解説かいせつ

固有こゆうベクトルeigenvectorだけでは足たりない場合ばあい、一般化いっぱんか固有こゆうベクトルgeneralized eigenvectorが不足ふそくする方向ほうこうを補おぎなう。冪零成分べきれいせいぶんnilpotent partは、$e^{tA}$e^{tA} に多項式的たこうしきてきな因子いんしを生うむ。

8関連演習かんれんえんしゅう

9関連講義かんれんこうぎ

10補強問題ほきょうもんだい：正定値性せいていちせいpositive definitenessと最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの定理確認ていりかくにん

10.1問題もんだい 7

の正定値性せいていちせいpositive definitenessを、固有値こゆうちeigenvalue、首座小行列式しゅざしょうぎょうれつしき、平方完成へいほうかんせいの 3 通とおりで確認かくにんせよ。

10.2解答例かいとうれい

固有値こゆうちeigenvalueは

の根こんなので、

であり、どちらも正せいである。首座小行列式しゅざしょうぎょうれつしきは $2>0$2>0、$\det H=5>0$\det H=5>0 である。また、

なので、$(x,y)\ne 0$(x,y)\ne0 なら正せいである。

10.3解説かいせつ

実対称じつたいしょう $2\times 2$2\times2 行列ぎょうれつでは、「固有値こゆうちeigenvalueがすべて正せい」「首座小行列式しゅざしょうぎょうれつしきが正せい」「正せいの平方へいほうの和わに直なおせる」という読よみが一致いっちする。

10.4問題もんだい 8

実対称じつたいしょうの場合ばあい、二次形式にじけいしきquadratic form $q\left(x\right)=x^{T}Ax$q(x)=x^TAx が正定値せいていちpositive definiteであることと、$A$A の固有値こゆうちeigenvalueがすべて正せいであることが同値どうちequivalentである理由りゆうを証明しょうめいせよ。

10.5解答例かいとうれい

スペクトル定理spectral theoremより、直交行列ちょっこうぎょうれつorthogonal matrix $Q$Q を用もちいて

と書かける。$y=Q^{T}x$y=Q^Tx とおくと、$Q$Q は可逆かぎゃくinvertibleで長ながさを保たもつので、$x\ne 0$x\ne0 と $y\ne 0$y\ne0 は同値どうちequivalentである。このとき

である。すべての ${\lambda }_i>0$\lambda_i>0 なら、$y\ne 0$y\ne0 に対たいしてこの和わは正せいである。逆ぎゃくに、ある ${\lambda }_j\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}0$\lambda_j\le0 があれば $y=e_j$y=e_j と取とることで $q\left(x\right)={\lambda }_j\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}0$q(x)=\lambda_j\le0 となる方向ほうこうが存在そんざいし、正定値せいていちpositive definiteではない。

10.6解説かいせつ

スペクトル定理spectral theoremは二次形式にじけいしきquadratic formを独立どくりつな平方座標へいほうざひょうへ分解ぶんかいする。正定値性せいていちせいは、その係数けいすうがすべて正せいであることに等ひとしい。

10.7問題もんだい 9

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが一次式いちじしきに分解ぶんかいする複素行列ふくそぎょうれつについて、対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableであることと、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが重複ちょうふくする一次因子いちじいんしを持もたないことが同値どうちequivalentである理由りゆうを説明せつめいせよ。問題もんだい 4 の $D$D と $J$J で確認かくにんせよ。

10.8解答例かいとうれい

行列ぎょうれつが対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableなら、対角成分たいかくせいぶんに現あらわれる相異あいことなる固有値こゆうちeigenvalueを ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_s$\lambda_1,\ldots,\lambda_s として、

が対角行列たいかくぎょうれつを 0 にし、したがって元もとの行列ぎょうれつも 0 にする。重複因子ちょうふくいんしは不要ふようである。逆ぎゃくに、最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialが相異あいことなる一次因子いちじいんしの積せきなら、空間くうかんが固有空間こゆうくうかんeigenspaceの直和ちょくわに分解ぶんかいし、固有こゆうベクトルeigenvectorの基底きていbasisを取とれる。

$D$D では $m_D\left(t\right)=t-1$m_D(t)=t-1 で重複因子ちょうふくいんしがなく、対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableである。$J$J では $m_J\left(t\right)=(t-1{)}^2$m_J(t)=(t-1)^2 に重複因子ちょうふくいんしがあり、対角化可能たいかくかかのうdiagonalizableではない。

10.9解説かいせつ

最小多項式さいしょうたこうしきminimal polynomialの重複因子ちょうふくいんしは、最大さいだいのジョルダンブロックの大おおきさを測はかる。1 より大おおきいブロックがあるとき、重複因子ちょうふくいんしが現あらわれる。