状態方程式じょうたいほうていしきの基本きほん

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、システムの内部状態ないぶじょうたいをベクトルとして表現ひょうげんし、入力にゅうりょくを与あたえたときの時間発展じかんはってん、出力しゅつりょく、安定性あんていせいを状態方程式じょうたいほうていしきから分析ぶんせきする。

2状態じょうたいと状態空間表現じょうたいくうかんひょうげん

状態じょうたいStateとは、ある時刻じこくにおける値あたいと、それ以後いごの入力にゅうりょくが与あたえられれば、システムの将来しょうらいの時間発展じかんはってんを一意いちいに決定けっていできる十分じゅうぶんな内部情報ないぶじょうほうである。状態じょうたいの選択せんたくは一意いちいとは限かぎらず、冗長じょうちょうな変数へんすうを含ふくむ表現ひょうげんもあり得うる。有限次元ゆうげんじげん LTI システムでは、同おなじ入出力関係にゅうしゅつりょくかんけいを表あらわす最小実現さいしょうじつげんどうしは相似変換そうじへんかんで結むすばれる。

連続時間れんぞくじかん LTI システムの状態空間表現じょうたいくうかんひょうげんState-space representationを

とする。状態じょうたい $\mathbf{x}\in R^n$\mathbf x\in\mathbb R^n、入力にゅうりょく $\mathbf{u}\in R^m$\mathbf u\in\mathbb R^m、出力しゅつりょく $\mathbf{y}\in R^p$\mathbf y\in\mathbb R^p に対たいし、

である。$A$A は状態間じょうたいかんの結合けつごう、$B$B は入力にゅうりょくの作用さよう、$C$C は状態じょうたいから出力しゅつりょくへの写像しゃぞう、$D$D は入力にゅうりょくから出力しゅつりょくへの直接項ちょくせつこうを表あらわす。

3二階方程式にかいほうていしきからの構成こうせい

質量しつりょう $m>0$m>0、減衰係数げんすいけいすう $c\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$c\ge 0、ばね定数ていすう $k\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$k\ge 0 の系けい

を考かんがえる。$x_1=q$x_1=q、$x_2=\dot{q}$x_2=\dot q と定義ていぎすると、

となる。位置いちと速度そくどは物理次元ぶつりじげんが異ことなるため、$A$A の各成分かくせいぶんも同一どういつの単位たんいではない。ただし、各行かくぎょうの積せき $A\mathbf{x}$A\mathbf x は対応たいおうする状態微分じょうたいびぶんと同おなじ物理次元ぶつりじげんを持もつ。この次元整合性じげんせいごうせいはモデルの検査けんさに利用りようできる。

4状態遷移じょうたいせんい

$A$A と $B$B が定数行列ていすうぎょうれつであるとき、初期状態しょきじょうたい $\mathbf{x}\left(0\right)=x_0$\mathbf x(0)=\mathbf x_0 に対たいする解かいは

である。状態遷移行列じょうたいせんいぎょうれつState-transition matrix $e^{At}$e^{At} は零入力れいにゅうりょくにおける状態じょうたいの時間発展じかんはってんを表あらわし、積分項せきぶんこうは入力履歴にゅうりょくりれきの寄与きよを表あらわす。

5固有値こゆうちと内部安定性ないぶあんていせい

零入力系れいにゅうりょくけい $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$\dot{\mathbf x}=A\mathbf x の原点げんてんが漸近安定ぜんきんあんていAsymptotically stableであるとは、十分小じゅうぶんちいさい初期状態しょきじょうたいからの解かいが原点近傍げんてんきんぼうに留とどまり、かつ $t\to \mathrm{\infty }$t\to\infty で $\mathbf{x}\left(t\right)\to 0$\mathbf x(t)\to 0 となることである。

有限次元ゆうげんじげんの連続時間れんぞくじかん LTI システムでは、$A$A のすべての固有値こゆうちが開左半平面かいひだりはんへいめん、すなわち $\mathrm{Re}\lambda <0$\operatorname{Re}\lambda<0 にあることと、原点げんてんの大域的指数安定性だいいきてきしすうあんていせいは同値どうちである。実部じつぶが正せいの固有値こゆうちがあれば不安定ふあんていである。虚軸上きょじくじょうの固有値こゆうちがある場合ばあいは、ジョルダン構造こうぞうにより有界ゆうかいまたは発散はっさんとなり得うるが、漸近安定ぜんきんあんていではない。

6伝達関数でんたつかんすうとの関係かんけい

初期状態しょきじょうたいを 0 としてラプラス変換へんかんし、$sI-A$sI-A が可逆かぎゃくな $s$s を考かんがえると、

であり、

を得える。ここで $G\left(s\right)\in C^{p\times m}$G(s)\in\mathbb C^{p\times m} は伝達関数行列でんたつかんすうぎょうれつである。入力にゅうりょくから励起れいきできないモードを不可制御ふかせいぎょモードUncontrollable mode、出力しゅつりょくに現あらわれないモードを不可観測ふかかんそくモードUnobservable modeという。状態空間表現じょうたいくうかんひょうげんがこれらのモードを含ふくむと、$A$A の固有値こゆうちが $G\left(s\right)$G(s) の極きょくとして現あらわれないことがある。したがって、伝達関数でんたつかんすうだけからすべての内部安定性ないぶあんていせいを判定はんていできるとは限かぎらない。

7要点ようてん

• 状態じょうたいは、将来入力しょうらいにゅうりょくとともに将来応答しょうらいおうとうを決定けっていする内部情報ないぶじょうほうである。
• 行列ぎょうれつ $A,B,C,D$A,B,C,D の次元じげんは、状態じょうたい、入力にゅうりょく、出力しゅつりょくの次元じげんから決きまる。
• $e^{At}$e^{At} は零入力応答れいにゅうりょくおうとうを記述きじゅつし、$A$A の固有値こゆうちは内部安定性ないぶあんていせいを決定けっていする。
• $G\left(s\right)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D は零初期状態れいしょきじょうたいの入出力関係にゅうしゅつりょくかんけいであり、内部ないぶのすべてのモードを表示ひょうじするとは限かぎらない。