剛体ごうたいのつり合あいの基本きほん

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、剛体ごうたいのつり合あいには「合力ごうりょくが 0」と「任意にんいの点てんまわりの力ちからのモーメントの和わが 0」の2条件にじょうけんが必要ひつようかつ十分じゅうぶんであることである。質点しつてんでは力ちからの和わだけを見みれば十分じゅうぶんだった。しかし剛体ごうたいは回転かいてんもできるため、並進へいしんのつり合あいだけでは不十分ふじゅうぶんである。作用点さようてんが違ちがえば同おなじ力ちからでも回転効果かいてんこうかが異ことなる。

このページで解とけるようになること

• 棒ぼう・はしご・板いたなどの剛体ごうたい静力学せいりきがく問題もんだいを立式りっしきする
• 支点してんや接点せってんを基準点きじゅんてんに選えらんで不要ふような未知数みちすうを消けす
• 重心じゅうしんを用もちいて自重じじゅうの作用点さようてんを決きめる
• 静止条件せいしじょうけんと未知数みちすうの数かずを照合しょうごうする

方針ほうしん

自由体図じゆうたいずを描えがいて全すべての力ちからを切きり出だし、まず並進へいしんの条件じょうけん $\sum F_x=0,\sum F_y=0$\sum F_x=0,\ \sum F_y=0 を書かく。そのうえで、未知反力みちはんりょくを消けしたい点てんを基準点きじゅんてんに選えらんで $\sum {\tau }_O=0$\sum\tau_O=0 を立たてる。この点選択てんせんたくが計算けいさんを楽らくにする。

適用条件てきようじょうけん

• このページの本線ほんせんは静止せいししている剛体ごうたい、または準静的じゅんせいてきに扱あつかえる状況じょうきょうである
• 変形へんけいは無視むしし、剛体ごうたいとして近似きんじする
• 平面内へいめんないの問題もんだいを前提ぜんていとし、モーメントは時計回とけいまわり・反時計回はんとけいまわりの符号ふごうで管理かんりする

用語ようごと定義ていぎ

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

扉とびらを押おすとき、蝶番ちょうつがいに近ちかいほど開あけにくく、端はしほど開あけやすい。これは腕うでの長ながさ $r_{\perp }$r_\perp が大おおきいほどモーメントが大おおきくなるからである。重心じゅうしんが支持しじ基底きていの内側うちがわにあると倒たおれず、外側そとがわに出でると倒たおれる—これがモーメントの観点かんてんから安定あんていを判定はんていする方法ほうほうである。

厳密げんみつな説明せつめい

見分みわけ方かた

• 棒ぼう・はしご・板いた・てこ・橋はしなどが登場とうじょうしたら → 剛体ごうたいのつり合あい
• 力ちからが 3 個こ以上いじょう、方向ほうこうが多様たよう → $\sum F_x=0$\sum F_x = 0・$\sum F_y=0$\sum F_y = 0・$\sum {\tau }_O=0$\sum \tau_O = 0 の 3 本ほんを立式りっしきする
• 未知数みちすうが多おおい → O を未知みちの力ちからの交点こうてんに選えらぶとモーメント式しきに未知数みちすうが減へる
• 「倒たおれるか」 → 重心じゅうしんの真下ましたが支持基底しじきていの内側うちがわか外側そとがわかを確認かくにんする

このページでは扱あつかわないこと

• 回転かいてんしながら動うごく剛体ごうたいの運動方程式うんどうほうていしき
• 慣性かんせいモーメントを使つかう動力学どうりきがく
• 角運動量保存かくうんどうりょうほぞんを使つかう非静的ひせいてきな問題もんだい

転倒てんとうの境界条件きょうかいじょうけん

剛体ごうたいが複数ふくすうの接点せってんで支ささえられているとき、転倒てんとうの直前ちょくぜんにはどれか 1 つの接点せってんの垂直抗力すいちょくこうりょくが 0 になる。床ゆかや支点してんは押おすことはできても引ひくことはできないので、反力はんりょくが負ふになる解かいは物理的ぶつりてきに実現じつげんしない。

計算けいさんでは、まず接触せっしょくが保たもたれていると仮定かていして反力はんりょくを求もとめる。結果けっかとして $N=0$N=0 になった条件じょうけんが転倒てんとうや浮うき上あがりの境界きょうかいであり、$N<0$N<0 ならその接触せっしょくはすでに失うしなわれている。

モーメントの符号ふごうを決きめる手順てじゅん

モーメントの符号ふごうは、力ちからそのものの向むきではなく、基準点きじゅんてんまわりに回まわそうとする向むきで決きめる。

1. 基準点きじゅんてん O を決きめる
2. 力ちからの作用線さようせんを延長えんちょうする
3. その力ちからだけが働はたらいたら O まわりに時計回とけいまわりか反時計回はんとけいまわりかを判断はんだんする
4. 最初さいしょに決きめた正せいの回転方向かいてんほうこうに合あわせて符号ふごうを付つける

腕うでの長ながさだけを見みて符号ふごうを決きめると誤あやまりやすい。符号ふごうは必かならず「どちらへ回まわそうとするか」で決きめる。

力ちからの作用線さようせんで考かんがえる

モーメントを計算けいさんするとき、力ちからの作用点さようてんだけでなく作用線さようせんを見みると見通みとおしがよい。作用線さようせんが基準点きじゅんてん O を通とおる力ちからは、O まわりのモーメントが 0 である。

未知みちの力ちからが多おおい問題もんだいでは、複数ふくすうの未知力みちりょくの作用線さようせんが交まじわる点てんを基準点きじゅんてんに選えらぶと、それらのモーメントを同時どうじに消けせる。支点してんや接点せってんを基準点きじゅんてんに選えらぶ理由りゆうは、計算けいさんを楽らくにするだけでなく、未知数みちすうを式しきから消けすためである。

どこまで成なり立たつか

剛体ごうたいの仮定かてい（変形へんけいなし）が成立せいりつする範囲はんいで適用てきようできる。弾性体だんせいたいや塑性変形そせいへんけいを伴ともなう場合ばあいは変形へんけいの効果こうかを別途べっと考慮こうりょする。モーメントの条件じょうけんは任意にんいの O で成立せいりつするが、全すべての O のモーメント式しきが独立どくりつしているわけではない（独立どくりつな条件じょうけんは平面へいめん問題もんだいで 3 本ほん）。

よくある誤あやまり

• 支点してんを基準点きじゅんてんに選えらばず、不要ふような未知数みちすうを残のこしたまま計算けいさんする
• 重力じゅうりょくの作用点さようてんを重心じゅうしんではなく端はしに置おく
• モーメントの符号ふごうを途中とちゅうで変かえる
• 静止せいし問題もんだいなのに $ma$ma や $I\alpha$I\alpha を混まぜる

最終形さいしゅうけい

並進へいしんのつり合あいは合力ごうりょくで、回転かいてんのつり合あいは任意にんいの点てん O まわりの力ちからのモーメントで判定はんていする。

点てん O をどこに選えらんでもよいのは、並進へいしんのつり合あい $\sum \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$\sum\vec{F}=\vec{0} が同時どうじに成なり立たつからである。基準点きじゅんてんを移うつすとモーメントの和わには「移動いどうした位置いちベクトル $\times$\times 合力ごうりょく」が加くわわるが、合力ごうりょくが 0 ならその差さは消きえる。

一言ひとことでいうと

剛体ごうたいのつり合あいは並進へいしんと回転かいてんの両方りょうほうを同時どうじに止とめる 2 条件じょうけんであり、モーメントの基準点きじゅんてんは未知数みちすうを消けすように自由じゆうに選えらべる。

関連かんれんリンク

文字式もじしきの単位たんい

剛体ごうたいのつり合あいでは、力ちから $F[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と腕うでの長ながさ $r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] から、力ちからのモーメント $\tau [\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\tau\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] が決きまる。$\tau =rF\sin \theta [\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\tau=rF\sin\theta\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] では、$\theta [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};1]$\theta\ [\mathrm{rad};\ \mathsf{1}] は向むきだけを表あらわし、単位たんいは $\left[\mathrm{N}\mathrm{m}\right]$[\mathrm{N\,m}] になる。

力ちからのつり合あい $\sum F=0$\sum F=0 では各項かくこうが $\left[\mathrm{N}\right]$[\mathrm{N}]、モーメントのつり合あい $\sum \tau =0$\sum \tau=0 では各項かくこうが $\left[\mathrm{N}\mathrm{m}\right]$[\mathrm{N\,m}] である。力ちからの式しきとモーメントの式しきを足たし合あわせてはいけないのは、単位たんいが違ちがうからである。

基準点きじゅんてんの選えらび方かたで未知数みちすうを減へらす

剛体ごうたいの問題もんだいでは、力ちからのつり合あいだけでは未知数みちすうが残のこることが多おおい。そのときは、未知みちの反力はんりょくが作用さようする点てんを基準点きじゅんてんにしてモーメントを取とる。作用線さようせんが基準点きじゅんてんを通とおる力ちからは、腕うでの長ながさが $0[\mathrm{m};\mathsf{L}]$0\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] なので、その点てんまわりのモーメントを作つくらない。

たとえば支点してん O の反力はんりょくが水平成分すいへいせいぶんと鉛直成分えんちょくせいぶんをもつときでも、O まわりにモーメントを取とれば、その 2 つを同時どうじに消けせる。残のこった力ちからについて、$\tau =rF\sin \theta [\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\tau=rF\sin\theta\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] を符号ふごうつきで足たし合あわせる。

転倒てんとうとすべりの競合きょうごう

物体ぶったいが倒たおれるか、すべるかは、別々べつべつの条件じょうけんで判定はんていする。すべりの境界きょうかいは静止摩擦力せいしまさつりょく $f_s[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$f_s\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] が最大値さいだいち ${\mu }_{s}N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$\mu_s N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] に達たっする条件じょうけんである。転倒てんとうの境界きょうかいは、垂直抗力すいちょくこうりょくの作用線さようせんが支持面しじめんの端はしを通とおる条件じょうけんである。

どちらが先さきに起おこるかは、両方りょうほうの臨界条件りんかいじょうけんを比くらべて決きめる。摩擦まさつが小ちいさければ倒たおれる前まえにすべることが多おおい。支持面しじめんが狭せまく重心じゅうしんが高たかい物体ぶったいでは、すべる前まえに転倒てんとうしやすい。

腕うでの長ながさは垂線距離すいせんきょりである

力ちからのモーメントを計算けいさんするときの腕うでの長ながさは、基準点きじゅんてんから作用点さようてんまでの距離きょりそのものではない。基準点きじゅんてんから力ちからの作用線さようせんへ下おろした垂線すいせんの長ながさである。

力ちから $F[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と腕うでの長ながさ $d[\mathrm{m};\mathsf{L}]$d\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] を使つかえば、モーメントの大おおきさは $Fd[\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$Fd\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] である。斜ななめの力ちからをそのまま扱あつかいにくいときは、力ちからを成分せいぶんに分わけるか、作用線さようせんまでの垂線距離すいせんきょりを使つかう。どちらで計算けいさんしても同おなじ結果けっかになる。

支点反力してんはんりょくを成分せいぶんで置おく

支点してんが力ちからの向むきを自由じゆうに変かえられるときは、大おおきさと角度かくどで置おくより、成分せいぶん $R_x[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$R_x\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、$R_y[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$R_y\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] で置おくと式しきが安定あんていする。剛体ごうたいの平面問題へいめんもんだいでは

の 3 本ぼんが基本きほんである。未知数みちすうが 3 つを超こえるなら、接触条件せっしょくじょうけんや摩擦条件まさつじょうけんなど追加ついかの情報じょうほうが必要ひつようになる。

支点してんや接点せってんの反力はんりょくの向むきが分わからないときは、無理むりに 1 本ぽんの斜ななめの力ちからとして置おかず、水平成分すいへいせいぶん $R_x[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$R_x\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と鉛直成分えんちょくせいぶん $R_y[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$R_y\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] に分わける。式しきを解といた結果けっか、どちらかが負ふになれば、仮定かていした正せいの向むきと逆向ぎゃくむきに働はたらいていたと読よめる。

反力はんりょくを成分せいぶんで置おくと未知数みちすうは増ふえるが、向むきの誤解ごかいは減へる。未知数みちすうが増ふえた分ぶんは、モーメントの基準点きじゅんてんを選えらんで不要ふような反力はんりょくを消けすことで処理しょりする。

主要文字式しゅようもじしきの単位たんい確認かくにん

剛体ごうたいでは、力ちから $F[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、腕うでの長ながさ $d[\mathrm{m};\mathsf{L}]$d\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、力ちからのモーメント $\tau [\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\tau\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] を区別くべつする。$Fd[\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$Fd\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] はモーメントであり、仕事しごと $W[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] と同おなじ次元じげんをもつが、意味いみは回転かいてんさせる作用さようである。

力ちからのつり合あいでは各項かくこうが $\left[\mathrm{N}\right]$[\mathrm{N}]、モーメントのつり合あいでは各項かくこうが $\left[\mathrm{N}\mathrm{m}\right]$[\mathrm{N\,m}] でそろう。$R_x[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$R_x\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、$R_y[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$R_y\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] のような支点反力してんはんりょくの成分せいぶんは力ちからなので、モーメントに入いれるときは腕うでの長ながさ $\left[\mathrm{m}\right]$[\mathrm{m}] を掛かける。

数式内すうしきないでの単位たんい明示めいじ

力ちからのモーメントは
$\tau =r\times F\times \sin \theta$\tau = r \times F \times \sin\theta
である。力ちからのつり合あいでは各項かくこうが $\mathrm{N}$\mathrm{N}、モーメントのつり合あいでは各項かくこうが $\mathrm{N}\mathrm{m}$\mathrm{N\,m} でそろう。

剛体問題ごうたいもんだいの解法かいほうテンプレート

剛体ごうたいのつり合あいでは、まず力ちからをすべて描えがく。重力じゅうりょく $Mg[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$Mg\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、支点反力してんはんりょく、接触力せっしょくりょく、張力ちょうりょく $T[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$T\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] のように、剛体ごうたいに働はたらく力ちからだけを自由体図じゆうたいずに残のこす。

次つぎに、未知数みちすうを減へらせる基準点きじゅんてんを選えらぶ。未知みちの反力はんりょくの作用線さようせんが通とおる点てんを基準点きじゅんてんにすれば、その反力はんりょくのモーメントは $0[\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$0\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] になる。

最後さいごに、力ちからのつり合あいとモーメントのつり合あいを分わけて立たてる。力ちからの式しきの各項かくこうは $\left[\mathrm{N}\right]$[\mathrm{N}]、モーメントの式しきの各項かくこうは $\left[\mathrm{N}\mathrm{m}\right]$[\mathrm{N\,m}] である。単位たんいが違ちがう式しきを混まぜない。

荷重かじゅうが分布ぶんぷしている場合ばあい

分布荷重ぶんぷかじゅう $w\left(x\right)[\mathrm{N}/\mathrm{m};\mathsf{M}{T}^{-2}]$w(x)\ [\mathrm{N/m};\ \mathsf{MT^{-2}}] は、そのまま 1 個この力ちからではなく、長ながさあたりの力ちからである。全荷重ぜんかじゅうは

で求もとめる。作用点さようてんは荷重分布かじゅうぶんぷの重心じゅうしんであり、

と読よめる。分子ぶんしは $\left[\mathrm{N}\mathrm{m}\right]$[\mathrm{N\,m}]、分母ぶんぼは $\left[\mathrm{N}\right]$[\mathrm{N}] なので、作用点さようてんは $\left[\mathrm{m}\right]$[\mathrm{m}] で表あらわされる。

剛体ごうたいに働はたらく重力じゅうりょくは、本当ほんとうは物体ぶったいの各部分かくぶぶんに分布ぶんぷして働はたらく。しかし一様いちような重力場じゅうりょくばでは、その合力ごうりょくを重心じゅうしんに作用さようする $Mg[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$Mg\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] として扱あつかえる。ここで、$M[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$M\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] は全質量ぜんしつりょうである。

橋はしや梁はりのように、長ながさに沿そって荷重かじゅうが分布ぶんぷしている場合ばあいも、合力ごうりょくとその作用位置さよういちを求もとめれば、剛体ごうたいのつり合あいとして扱あつかえる。一様分布荷重いちようぶんぷかじゅうなら、合力ごうりょくは全荷重ぜんかじゅうであり、作用位置さよういちは分布ぶんぷしている区間くかんの中央ちゅうおうである。

この置おき換かえでは、合力ごうりょく $F[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] だけでなく、作用位置さよういちまでの距離きょり $d[\mathrm{m};\mathsf{L}]$d\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] も必要ひつようである。モーメントは $Fd[\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$Fd\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] として効きくため、同おなじ合力ごうりょくでも作用位置さよういちが変かわれば回転かいてんへの影響えいきょうは変かわる。