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列基本変形と未知数変換-基本演習md 4f1dfdc
exercise/math/linear-algebra/列基本変形と未知数変換-基本演習.n.md
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列基本変形と未知数変換-基本演習
mathlinear-algebraexercisecolumn-operationchange-of-variables
演習方針
列基本変形は、行列の列を別の生成系に取り替える操作である。列空間と階数は保存されるが、Ax=b の未知数は同じ意味では読めなくなる。
問題 1
A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
3&4
\end{pmatrix}
に C_2\leftarrow C_2-2C_1 を行う。この操作を右から掛ける基本行列 F で表し、Ax=b と AFy=b の未知数の関係を述べよ。
解答例
○
F=
\begin{pmatrix}
1&-2\\
0&1
\end{pmatrix}
とすると、
AF=
\begin{pmatrix}
1&0\\
3&-2
\end{pmatrix}
である。AFy=b は A(Fy)=b を意味するので、元の未知数は
x=Fy=
\begin{pmatrix}
y_1-2y_2\\
y_2
\end{pmatrix}
である。
解説
列基本変形は列空間を保存するが、未知数の座標を変える。方程式として追跡するなら、x=Fy を同時に記録する。
問題 2
同じ A に対して、つぎの列基本変形を右からの基本行列で表せ。
- C_1\leftrightarrow C_2
- C_2\leftarrow 3C_2
解答例
○
列の交換は
F_1=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
で表され、
AF_1=
\begin{pmatrix}
2&1\\
4&3
\end{pmatrix}
である。列の非零定数倍は
F_2=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&3
\end{pmatrix}
で表され、
AF_2=
\begin{pmatrix}
1&6\\
3&12
\end{pmatrix}
である。
解説
右から掛ける基本行列の各列が、新しい列を元の列の線型結合として指定する。このため、列への操作は右からの積で表される。
問題 3
行列 A に行基本変形 R_2\leftarrow R_2+3R_1 を行って B を得る。このとき B^T は A^T にどの基本変形を行ったものか述べよ。
解答例
○
A の第 2 行が、第 2 行と第 1 行の 3 倍の和に変わる。これを転置すると、A^T の第 2 列が、第 2 列と第 1 列の 3 倍の和に変わる。したがって
C_2\leftarrow C_2+3C_1
である。
解説
転置は行と列を入れ替える。行への操作は、転置後には列への操作として読み替えられる。
問題 4
つぎの説明の誤りを指摘せよ。
「列基本変形では階数が保存されるので、Ax=b と AFx=b は同じ解集合を持つ。」
解答例
○
階数の保存は、列空間の生成の仕方が変わるだけであることを意味する。しかし AFx=b は A(Fx)=b であり、x の意味は元の方程式と違う。したがって、同じ解を比べるには z=Fx のような未知数変換を追跡する必要がある。
解説
行基本変形は解集合を保存し、列基本変形は列空間と階数を保存する。似た操作でも保存する対象が違う。