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階段形と掃き出し-基本演習md ddad285
exercise/math/linear-algebra/階段形と掃き出し法-基本演習.n.md
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階段形と掃き出し-基本演習
mathlinear-algebraexerciserrefeliminationinverse-matrix
演習方針
階段形は、ピボットの位置から主変数、自由変数、矛盾行を読むための形である。掃き出しでは、割る前にピボットが 0 でないことを確認する。
問題 1
つぎの拡大係数行列を行階段形と簡約行階段形まで変形し、解集合を読み取れ。
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
2&4&-2&0\\
0&1&3&4
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
2&4&-2&0\\
0&1&3&4
\end{array}
\right)
解答例
○
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
2&4&-2&0\\
0&1&3&4
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
0&0&0&0\\
0&1&3&4
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
0&1&3&4\\
0&0&0&0
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
2&4&-2&0\\
0&1&3&4
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
0&0&0&0\\
0&1&3&4
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&2&-1&0\\
0&1&3&4\\
0&0&0&0
\end{array}
\right)
これは行階段形である。さらに R_1\leftarrow R_1-2R_2 とすると、
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&-7&-8\\
0&1&3&4\\
0&0&0&0
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&-7&-8\\
0&1&3&4\\
0&0&0&0
\end{array}
\right)
となる。x_3=t とおくと、
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-8\\4\\0\end{pmatrix}
+t
\begin{pmatrix}7\\-3\\1\end{pmatrix}
\qquad (t\in\mathbb R)
である。
解説
行階段形は前進消去で作り、簡約行階段形は上のピボット列も 0 にする。解の個数は、ピボットの個数と矛盾行の有無から決まる。
問題 2
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&2&3\\
0&1&-1&1\\
0&0&a-1&b
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&2&3\\
0&1&-1&1\\
0&0&a-1&b
\end{array}
\right)
について、a,b の値により解が一意に存在する場合、無限に存在する場合、存在しない場合を分類せよ。
解答例
○
a\ne1 の場合、第 3 行は (a-1)z=b である。ここでは a-1\ne0 なので z=b/(a-1) と解ける。したがって一意解を持つ。
a=1 の場合、第 3 行は 0z=b である。b=0 なら z が自由変数となり、解は無限に存在する。b\ne0 なら矛盾するので、解は存在しない。
解説
文字式で割る前に、分母が 0 にならない条件を分ける。ここで確認すべきなのは a-1 であり、割り算に現れない量まで不要に場合分けしない。
問題 3
A(a)=
\begin{pmatrix}
a&1\\
1&0
\end{pmatrix}
について、(A(a)\mid I) を掃き出しし、A(a)^{-1} を求めよ。
解答例
○
a をピボットにすると a=0 の場合が問題になる。ここでは第 2 行の 1 をピボットにするため、まず行を交換する。
\left(
\begin{array}{cc|cc}
a&1&1&0\\
1&0&0&1
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1&0&0&1\\
a&1&1&0
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1&0&0&1\\
0&1&1&-a
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc|cc}
a&1&1&0\\
1&0&0&1
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1&0&0&1\\
a&1&1&0
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1&0&0&1\\
0&1&1&-a
\end{array}
\right)
したがって
A(a)^{-1}
=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&-a
\end{pmatrix}
である。
解説
この解法では a で割っていないため、a=0 でも同じ手順で処理できる。問題になるのは実際に分母へ置いた量が 0 になりうる場合である。
問題 4
A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
2&4
\end{pmatrix}
について、(A\mid I) を掃き出しし、A^{-1} が存在しないことを説明せよ。
解答例
○
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1&2&1&0\\
2&4&0&1
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1&2&1&0\\
0&0&-2&1
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc|cc}
1&2&1&0\\
2&4&0&1
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1&2&1&0\\
0&0&-2&1
\end{array}
\right)
となる。左側に零行が現れるため、左側を I に変形できない。したがって A は可逆ではなく、A^{-1} は存在しない。
解説
逆行列の掃き出しでは、左側を単位行列にできるかが判定基準である。途中で零行が出ることは、入力の方向が潰れていることを示す。