整域せいいきintegral domain・体たいfield・有限体ゆうげんたいfinite field 基本きほん演習えんしゅう

1対応たいおうする講義こうぎ

2取とり組くむ順序じゅんじょ

「整域せいいき・零因子れいいんし・多項式環たこうしきかん」の後あとは問題もんだい1・4に取とり組くめる。「体たいの基本きほん」の後あとに問題もんだい2・3と証明演習しょうめいえんしゅうへ進すすみ、「有限体ゆうげんたいの入口いりぐち」の後あとに問題もんだい5を行おこなう。証明演習しょうめいえんしゅうは本文ほんぶんでは問題もんだい5の後あとに置おいているが、問題もんだい5には依存いぞんしない。このページの prerequisites は全問題ぜんもんだいに取とり組くむための最終到達点さいしゅうとうたつてんを表あらわす。

3関連かんれん演習えんしゅう

4問題もんだい1：零因子れいいんしを見みつける

$$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$$\mathbb Z/8\mathbb Z で零因子れいいんしを一ひとつ見みつけよ。

4.1解答かいとう

$$\left[2\right]$$[2] は零因子れいいんしである。実際じっさい、

であり、$$\left[2\right]\ne \left[0\right]$$[2]\ne[0]、$$\left[4\right]\ne \left[0\right]$$[4]\ne[0] である。

4.2解説かいせつ

零因子れいいんしは、0 でない元げんelementどうしの積せきproductを 0 にしてしまう元げんelementである。

5問題もんだい2：体たいfieldか判定はんていする

$$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$$\mathbb Z/7\mathbb Z は体たいfieldか。

5.1解答かいとう

体たいfieldである。7 は素数そすうprime numberなので、0 でない任意にんいの $$\left[a\right]$$[a] について $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(a,7)=1$$\gcd(a,7)=1 である。ベズーの等式Bezout identityにより、ある整数せいすう $$u,v$$u,v が存在そんざいして

となる。したがって剰余類じょうよるいでは $$\left[a\right]\left[u\right]=\left[1\right]$$[a][u]=[1] であり、乗法逆元じょうほうぎゃくげんmultiplicative inverseが存在そんざいする。また、$$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$$\mathbb Z/7\mathbb Z は剰余類じょうよるいの加法かほうと乗法じょうほうについて可換環かかんかんであり、$$7\nmid 1$$7\nmid1 なので $$\left[0\right]\ne \left[1\right]$$[0]\ne[1] である。よって体たいの定義ていぎの全条件ぜんじょうけんを満みたす。

5.2解説かいせつ

$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z が体たいfieldになるのは、$$n$$n が素数そすうprime numberのときである。

6問題もんだい3：体たいfieldでない例れいを説明せつめいする

$$\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$$\mathbb Z/9\mathbb Z が体たいfieldでない理由りゆうを説明せつめいせよ。

6.1解答かいとう

$$\left[3\right]\ne \left[0\right]$$[3]\ne[0] だが、

である。したがって零因子れいいんしがあるので体たいfieldではない。

6.2解説かいせつ

体たいfieldには零因子れいいんしがない。一般いっぱんに $$n=ab$$n=ab、$$1<a,b<n$$1<a,b<n と分解ぶんかいできる合成数ごうせいすう $$n$$n では、$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z の中なかで

となり、しかも $$\left[a\right]\ne \left[0\right]$$[a]\ne[0]、$$\left[b\right]\ne \left[0\right]$$[b]\ne[0] である。したがって合成数ごうせいすう法ほうの剰余じょうよ環かんでは、合成数ごうせいすうの因子いんしから零因子れいいんしが生しょうじる。

7問題もんだい4：多項式たこうしきの積せきと次数じすう

$$f\left(x\right)=2x^2+1$$f(x)=2x^2+1、$$g\left(x\right)=3x-4$$g(x)=3x-4 を $$\mathbb{Z}\left[x\right]$$\mathbb Z[x] の元げんとする。$$f\left(x\right)g\left(x\right)$$f(x)g(x) を計算けいさんし、最高次係数さいこうじけいすうと次数じすうを求もとめよ。また、$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}\left(fg\right)=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}f+\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}g$$\deg(fg)=\deg f+\deg g を確認かくにんせよ。

7.1解答かいとう

である。最高次係数さいこうじけいすうは 6、次数じすうは 3 である。また、$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}f=2$$\deg f=2、$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}g=1$$\deg g=1 なので

を確認かくにんできる。

7.2解説かいせつ

$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は整域せいいきなので、0 でない最高次係数さいこうじけいすう $$2$$2 と $$3$$3 の積せき $$6$$6 は 0 にならない。このことが積せきの最高次さいこうじの項こうが消きえないことを保証ほしょうしている。

8問題もんだい5：4 元げんの有限体ゆうげんたい

$$F_4=F_2\left[x\right]/(x^2+x+1)$$\mathbb F_4=\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1) とし、$$\alpha =\left[x\right]$$\alpha=[x] と書かく。$${\alpha }^2=\alpha +1$$\alpha^2=\alpha+1 と $$1+1=0$$1+1=0 を使つかって、0 でない元げん $$1,\alpha ,\alpha +1$$1,\alpha,\alpha+1 の乗法表じょうほうひょうを完成かんせいさせよ。さらに、その表ひょうから各元かくげんの乗法逆元じょうほうぎゃくげんを読よみ取とれ。

8.1解答かいとう

単位元たんいげん $$1$$1 を掛かけた積せきは元げんを変かえない。残のこる積せきは

および

である。ここで標数ひょうすう 2 より $$2\alpha =0$$2\alpha=0、$$1+1=0$$1+1=0 を使つかった。乗法じょうほうの可換性かかんせいも使つかうと、表ひょうは

となる。各行かくぎょうで積せきが $$1$$1 になる列れつを読よめば、

である。

8.2解説かいせつ

$$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$\mathbb Z/4\mathbb Z では $$[2{]}^2=0$$[2]^2=0 だが、$$F_4$$\mathbb F_4 の 0 でない元げん $$1,\alpha ,\alpha +1$$1,\alpha,\alpha+1 はすべて逆元ぎゃくげんを持もつ。この違ちがいが、元げんの個数こすうだけでは体たいかどうかを決きめられないことを示しめす。

9証明しょうめい演習えんしゅう：有限整域ゆうげんせいいきが体たいfieldになること

9.1問題もんだい

有限ゆうげんな整域せいいきintegral domain $R$R は体たいfieldであることを証明しょうめいせよ。

9.2解答かいとう

$a\in R$a\in R、$a\ne 0$a\ne0 を取とる。写像しゃぞう ${\mu }_a:R\to R$\mu_a:R\to R を ${\mu }_a\left(x\right)=ax$\mu_a(x)=ax で定義ていぎする。${\mu }_a\left(x\right)={\mu }_a\left(y\right)$\mu_a(x)=\mu_a(y) なら $ax=ay$ax=ay である。$R$R は整域せいいきintegral domainなので消去法則しょうきょほうそくより $x=y$x=y である。したがって ${\mu }_a$\mu_a は単射たんしゃである。

$R$R は有限集合ゆうげんしゅうごうなので、$R$R から $R$R への単射たんしゃは全射ぜんしゃである。よって $1\in R$1\in R に対たいして、ある $x\in R$x\in R が存在そんざいして $ax=1$ax=1 である。つまり $a$a は逆元ぎゃくげんinverse elementを持もつ。$$a$$a は任意にんいの 0 でない元げんであり、整域せいいき $$R$$R は $$0\ne 1$$0\ne1 の可換環かかんかんなので、$$R$$R は体たいである。

9.3解説かいせつ

有限性ゆうげんせいは単射たんしゃから全射ぜんしゃを導みちびくために使つかう。無限むげんの整域せいいきintegral domainでは、この議論ぎろんはそのままでは使つかえない。

有限集合ゆうげんしゅうごうでは、単射たんしゃなら像ぞうの元げん数すうが入力にゅうりょくの元げん数すうと同おなじである。入力にゅうりょくと目標もくひょうが同おなじ有限集合ゆうげんしゅうごうなので、像ぞうは目標もくひょう全体ぜんたいになり、全射ぜんしゃである。