二階線形にかいせんけい PDE の分類ぶんるい

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、二変数にへんすうの二階線形にかいせんけい PDE を最高階微分さいこうかいびぶんから点てんごとに分類ぶんるいし、特性方向とくせいほうこうと標準形ひょうじゅんけいを判定はんていする方法ほうほうを説明せつめいする。楕円型だえんがた・放物型ほうぶつがた・双曲型そうきょくがたという名前なまえは典型的てんけいてきな平衡へいこう・拡散かくさん・伝播でんぱを予想よそうする手掛てがかりになるが、型かただけで存在そんざい・一意性いちいせい・安定性あんていせいを保証ほしょうするものではない。

この判別量はんべつりょうによる三分類さんぶんるいは独立変数どくりつへんすうが 2 個この場合ばあいを扱あつかう。より多おおくの変数へんすうでは、主係数行列しゅけいすうぎょうれつの固有値こゆうちの符号ふごうを数かぞえる一般化いっぱんかが必要ひつようになる。

2一般形いっぱんけいと主部しゅぶ

領域りょういき $$\mathrm{\Omega }\subset R^2$$\Omega\subset\mathbb R^2 で、実数値じっすうちの連続係数れんぞくけいすうを持もつ方程式ほうていしき

を考かんがえる。$$A,\dots ,F,G$$A,\ldots,F,G は $$(x,y)$$(x,y) の既知関数きちかんすうであり、$$u$$u やその微分びぶんには依存いぞんしない。このことが $$u$$u に関かんする線形性せんけいせいを意味いみする。分類ぶんるいに使つかう主部しゅぶPrincipal partは

であり、主係数行列しゅけいすうぎょうれつは

である。$$D,E,F,G$$D,E,F,G は解かいの具体形ぐたいけいや適切性てきせつせいに影響えいきょうするが、型かたは $$M$$M だけで決きまる。

3判別量はんべつりょうと三分類さんぶんるい

点てん $$(x,y)$$(x,y) で

と置おく。$$M\ne 0$$M\ne0、すなわち $$A,B,C$$A,B,C がすべて 0 ではない点てんでは、次つぎのように分類ぶんるいする。

$$A=B=C=0$$A=B=C=0 なら $$\delta =0$$\delta=0 でも二階主部にかいしゅぶがなく、放物型ほうぶつがたとは呼よべない。係数けいすうが変化へんかする場合ばあい、これは領域全体りょういきぜんたいではなく各点かくてんでの分類ぶんるいである。

4代表方程式だいひょうほうていしきの計算けいさん

Laplace 方程式ほうていしき

では $$A=C=1,B=0$$A=C=1,B=0 なので $$\delta =-1<0$$\delta=-1<0 であり、楕円型だえんがたである。

熱方程式ねつほうていしきを $$(x,t)$$(x,t) の順じゅんで

と書かくと、$$A=-\kappa ,B=C=0$$A=-\kappa,B=C=0 で $$\delta =0$$\delta=0、$$M$$M は rank 1 なので放物型ほうぶつがたである。$$u_t$$u_t は一階項いっかいこうなので型かたの判定はんていには入はいらないが、時間発展じかんはってんの向むきを決きめる重要じゅうような項こうである。

波動方程式はどうほうていしきを

と書かくと、$$A=-c^2,B=0,C=1$$A=-c^2,B=0,C=1 なので $$\delta =c^2>0$$\delta=c^2>0 であり、双曲型そうきょくがたである。

5座標変換ざひょうへんかんで型かたが保たもたれる理由りゆう

新あたらしい座標関数ざひょうかんすう $$(\xi ,\eta )=\left(\xi \right(x,y),\eta (x,y\left)\right)$$(\xi,\eta)=(\xi(x,y),\eta(x,y)) を $$C^2$$C^2 級きゅうとし、その Jacobian 行列ぎょうれつを $$J$$J とする。$$\det J\ne 0$$\det J\ne0 の点てんでは逆関数定理ぎゃくかんすうていりにより局所座標きょくしょざひょうとして使つかえ、新座標しんざひょうでの主係数行列しゅけいすうぎょうれつは

という合同変換ごうどうへんかんを受うける。したがって

となり、$$\delta =-\det M$$\delta=-\det M の符号ふごうは変かわらない。可変係数かへんけいすうの方程式ほうていしきを変換へんかんすると座標ざひょうの二階微分にかいびぶんから低階項ていかいこうも生しょうじるが、主部しゅぶの型かたは非特異ひとくいな座標変換ざひょうへんかんで保たもたれる。特異とくいな変換へんかんではこの結論けつろんを使つかえない。

6特性曲線とくせいきょくせんとの関係かんけい

曲線きょくせん $$\varphi (x,y)=\text{constant}$$\phi(x,y)=\text{constant} に垂直すいちょくな法線方向ほうせんほうこうは、勾配こうばい $$({\varphi }_x,{\varphi }_y)$$(\phi_x,\phi_y) で表あらわせる。この曲線きょくせんが主部しゅぶに対たいして特性的とくせいてきCharacteristicである条件じょうけんは

である。接方向せつほうこうを $$(dx,dy)$$(dx,dy) と書かけば、同おなじ条件じょうけんは同次式どうじしき

になる。この形かたちは垂直すいちょくな曲線きょくせんも扱あつかえる。曲線きょくせんを $$y=y\left(x\right)$$y=y(x) と書かけ、$$m=dy/dx$$m=dy/dx とすれば法線ほうせんは $$(-m,1)$$(-m,1) に比例ひれいするので、

を得える。$$A\ne 0$$A\ne0 なら、これは有限ゆうげんな傾かたむき $$m$$m の二次方程式にじほうていしきであり、判別式はんべつしきは $$4(B^2-AC)=4\delta$$4(B^2-AC)=4\delta である。$$A=0$$A=0 では二次項にじこうが消きえ、$$B\ne 0$$B\ne0 なら一次式いちじしき、$$B=0$$B=0 なら定数式ていすうしきになるため、$$dx=0$$dx=0 の垂直方向すいちょくほうこうを傾かたむき $$m$$m で表あらわせない場合ばあいがある。そのときは同次式どうじしきへ戻もどるか、$$x=x\left(y\right)$$x=x(y) の表示ひょうじを使つかう。射影的しゃえいてきな方向全体ほうこうぜんたいを数かぞえれば、上うえの三分類さんぶんるいと実特性方向じつとくせいほうこうの本数ほんすうが一致いっちする。

熱方程式ねつほうていしきでは $$m=dt/dx=0$$m=dt/dx=0 が重根じゅうこんなので、$$t=\text{constant}$$t=\text{constant} は二階主部にかいしゅぶに対たいする特性曲線とくせいきょくせんである。それでも $$t=0$$t=0 に 1 個この初期値しょきちを置おいて前向まえむき発展はってんを考かんがえられるのは、$$u_t$$u_t が一階いっかいで残のこる放物型発展構造ほうぶつがたはってんこうぞうによる。前講義ぜんこうぎの一階準線形いっかいじゅんせんけい PDE における非特性条件ひとくせいじょうけんと、この二階主部にかいしゅぶの特性条件とくせいじょうけんを同おなじ規則きそくとして扱あつかってはならない。

7標準形ひょうじゅんけいへの入口いりぐち

一点いってんでは、非特異ひとくいな線形座標変換せんけいざひょうへんかんと、必要ひつようなら方程式全体ほうていしきぜんたいへの $$-1$$-1 倍ばいにより、主部しゅぶを次つぎの形かたちに正規化せいきかできる。

可変係数かへんけいすうの方程式ほうていしきを近傍全体きんぼうぜんたいで標準形ひょうじゅんけいへ移うつすには、係数けいすうの正則性せいそくせい、型かたが一定いっていであること、局所座標きょくしょざひょうの存在そんざいを別べつに確認かくにんする。大域的たいいきてきな標準化ひょうじゅんかは自動的じどうてきには従したがわない。

8型かたから予想よそうできることとできないこと

型かたは問題設定もんだいせっていと解法かいほうを選えらぶ入口いりぐちである。ただし次つぎの対応たいおうは、代表的だいひょうてきな追加仮定ついかかていのもとで成立せいりつする。

領域りょういきで一様楕円性いちようだえんせいUniform ellipticityを仮定かていするとは、領域全体りょういきぜんたいで固定こていした $$\sigma \in \{1,-1\}$$\sigma\in\{1,-1\} と定数ていすう $$0<{\lambda }_0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{\mathrm{\Lambda }}_0<\mathrm{\infty }$$0<\lambda_0\le\Lambda_0<\infty があり、すべての $$\zeta \in R^2$$\zeta\in\mathbb R^2 に対たいして

が各点かくてんで成立せいりつすることを意味いみする。これは固有値こゆうちの符号ふごうを領域全体りょういきぜんたいでそろえ、0 と無限大むげんだいの両方りょうほうから一様いちように隔へだてる条件じょうけんである。このような一様性いちようせいは、型かたごとの評価ひょうかを領域全体りょういきぜんたいで使つかうときに重要じゅうようである。

たとえば前向まえむき熱方程式ねつほうていしきと後うしろ向むき熱方程式ねつほうていしきは主部しゅぶの同おなじ放物型分類ほうぶつがたぶんるいを持もつが、安定性あんていせいは同おなじではない。また楕円型だえんがたというだけで、任意にんいの境界条件きょうかいじょうけんが一意解いちいかいを定さだめるとは限かぎらない。初期条件しょきじょうけん・境界条件きょうかいじょうけん・適切性てきせつせいは、型かたとは別べつに問題全体もんだいぜんたいで確認かくにんする。

9反例はんれいまたは限界げんかい

係数けいすうが場所ばしょで変化へんかする方程式ほうていしきでは、領域全体りょういきぜんたいで型かたが一定いっていとは限かぎらない。たとえば

では $$A=y,B=0,C=1$$A=y,B=0,C=1 なので $$\delta =-y$$\delta=-y である。したがって $$y>0$$y>0 で楕円型だえんがた、$$y<0$$y<0 で双曲型そうきょくがた、$$y=0$$y=0 で rank 1 の放物型ほうぶつがたになる。$$y=0$$y=0 は型変化線かたへんかせんであり、一様性いちようせいが失うしなわれるため、片側かたがわで使つかえる評価ひょうかや解法かいほうをそのまま横断的おうだんてきに適用てきようできない。

10よくある誤あやまり

• $$2B{u}_{xy}$$2B u_{xy} という係数規約けいすうきやくを確認かくにんせず、$$B^2-AC$$B^2-AC へ別べつの $$B$$B を代入だいにゅうする。交差項こうさこうを $$B{u}_{xy}$$B u_{xy} と書かく規約きやくでは、主係数行列しゅけいすうぎょうれつの非対角成分ひたいかくせいぶんは $$B/2$$B/2 になる。
• $$\delta =0$$\delta=0 だけを見みて、$$A=B=C=0$$A=B=C=0 の退化たいかした式しきまで放物型ほうぶつがたと呼よぶ。
• 型かたを確認かくにんしただけで、境界条件きょうかいじょうけん、時間方向じかんほうこう、係数けいすうの正則性せいそくせいを調しらべずに適切性てきせつせいを結論けつろんする。
• 一点いってんでの分類ぶんるいを領域全体りょういきぜんたいへ広ひろげ、型変化かたへんかや一様性いちようせいを見落みおとす。

11関連かんれんリンク