代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureとは何なにか

抽象代数ちゅうしょうだいすうで最初さいしょに固定こていしたい見方みかたは、対象たいしょうを「集合しゅうごうsetと演算えんざんoperationの組くみ」として見みることである。数かずの集合しゅうごうsetだけを見みても、まだ代数だいすうは始はじまらない。その集合しゅうごうsetの中なかで、どの演算えんざんoperationを行おこない、その演算えんざんoperationがどの法則ほうそくを満みたすかを指定していして初はじめて、代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureになる。

たとえば整数全体せいすうぜんたい $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は、足たし算ざんと一緒いっしょに見みると群ぐんgroupになる。しかし掛かけ算ざんと一緒いっしょに見みると、たとえば $$2b=1$$2b=1 を満みたす候補こうほは $$b=1/2$$b=1/2 だが整数せいすうではないので、群ぐんgroupにはならない。同おなじ集合しゅうごうsetでも、演算えんざんoperationを変かえると構造こうぞうが変かわる。

ここでの群ぐんgroupと逆元ぎゃくげんinverse elementは、あとで正式せいしきに定義ていぎする用語ようごである。この段階だんかいでは、「集合しゅうごうだけでなく演算えんざんも指定していしないと構造こうぞうは決きまらない」という点てんだけを使つかう。

1定義ていぎの形かたち

代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureは、典型的てんけいてきには

または

の形かたちで書かく。ここで $$S$$S は集合しゅうごうsetであり、$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$$\ast、$$+$$+、$$·$$\cdot は演算えんざんoperationである。

この表記ひょうきは、「元げんelementが何なにか」と「元げんelementどうしをどう操作そうさするか」を分わけている。集合しゅうごうsetだけでは要素ようその一覧いちらんであり、演算えんざんoperationだけではどこで計算けいさんするかが分わからない。両方りょうほうを指定していして初はじめて、計算けいさんの世界せかいが定さだまる。

2何故なぜ公理こうりで定義ていぎするのか

公理こうりは、具体例ぐたいれいの細部さいぶを忘わすれ、議論ぎろんに必要ひつような性質せいしつだけを残のこすための条件じょうけんである。

整数せいすうの足たし算ざん、平面へいめんの回転かいてん、正方形せいほうけいの対称性たいしょうせいは見みた目めがまったく違ちがう。しかし、どれも「合成ごうせいできる」「何なにもしない操作そうさがある」「元げんelementへ戻もどす操作そうさがある」という共通点きょうつうてんを持もつ。この共通点きょうつうてんだけを取とり出だすと、群ぐんgroupの公理こうりになる。

3何なにが変かわり、何なにが保存ほぞんされるか

抽象化ちゅうしょうかでは、具体的ぐたいてきな表示ひょうじは変かわる。整数せいすう、行列ぎょうれつ、置換ちかん、剰余類じょうよるいは見みた目めが異ことなる。一方いっぽうで、演算えんざんoperationの満みたす法則ほうそくは保存ほぞんして見みる。

たとえば、同型どうけいな二ふたつの群ぐんgroupは、元げんelementの名前なまえは違ちがっても、演算表えんざんひょうの構造こうぞうは同おなじである。つまり、どの元げんelementを組くみ合あわせるとどの元げんelementになるかという情報じょうほうが保存ほぞんされる。同型どうけいは後あとで準同型じゅんどうけいと一緒いっしょに定義ていぎするので、ここでは「名前なまえが変かわっても演算えんざんの対応たいおうが残のこる」という見通みとおしとして読よめばよい。

4具体例ぐたいれい：同おなじ集合しゅうごうsetでも構造こうぞうは変かわる

集合しゅうごうset $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z を考かんがえる。

は群ぐんgroupである。0 が単位元たんいげんidentity elementであり、整数せいすう $$a$$a の逆元ぎゃくげんinverse elementは $$-a$$-a である。

しかし

は群ぐんgroupではない。たとえば 2 の乗法逆元じょうほうぎゃくげんは整数せいすうの中なかに存在そんざいしない。もし $$2b=1$$2b=1 となる整数せいすう $$b$$b があれば、左辺さへんは偶数ぐうすうなので 1 にはならない。

ここで大切たいせつなのは、集合しゅうごうsetだけを見みて「群ぐんgroupかどうか」を言いえない点てんである。必かならず演算えんざんoperationと組くみにして判断はんだんする。

5他分野たぶんやとの接続せつぞく

抽象代数ちゅうしょうだいすうは線型代数せんけいだいすうにも現あらわれる。たとえば可逆行列かぎゃくぎょうれつ全体ぜんたいは、行列積ぎょうれつせきによって群ぐんgroupをなす。

この節せつは接続せつぞくの見通みとおしであり、行列ぎょうれつの知識ちしきを以後いごの定義ていぎや証明しょうめいの前提ぜんていにはしない。

整数せいすう論ろんでは、剰余類じょうよるいの足たし算ざんや掛かけ算ざんが抽象代数ちゅうしょうだいすうの基本きほん例れいになる。

6演習えんしゅうリンク

この講義こうぎの後あとは、二項演算にこうえんざんと閉包性へいほうせい、半群はんぐん・モノイド・群ぐんの順じゅんに進すすむ。

7まとめ

代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureとは、集合しゅうごうsetと演算えんざんoperationを組くみにして、公理こうりで必要ひつような性質せいしつを指定していしたものである。同おなじ集合しゅうごうsetでも演算えんざんoperationが変かわれば構造こうぞうは変かわる。抽象代数ちゅうしょうだいすうでは、見みた目めではなく、演算えんざんoperationで保存ほぞんされる構造こうぞうを見みる。