積分方程式せきぶんほうていしきの入口いりぐち

date2026-07-14document_iddoc_60df56edfd2d6ac103b71a4c6d952d4adescription積分方程式を、未知関数を積分の中に含む方程式として説明し、微分方程式との往復と核の見方を丁寧に整理する。prerequisites積分法の基本 / 微分積分学の基本定理 / 微分方程式への橋渡しtype講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎで中心ちゅうしんに置おく発想はっそうは、積分方程式せきぶんほうていしきでは未知関数みちかんすうが積分せきぶんの中なかに入はいっており、微分方程式びぶんほうていしきを積分せきぶんして書かき換かえた形かたちとして現あらわれることが多おおいということである。

微分方程式びぶんほうていしきに慣なれていると、「未知関数みちかんすうが積分記号せきぶんきごうの中なかに入はいる」と急きゅうに見慣みなれない形かたちに見みえる。ここでは、積分方程式せきぶんほうていしきを微分方程式びぶんほうていしきの別表現べつひょうげんとして見みる視点してんから入はいる。

2用語ようごと定義ていぎ

積分方程式せきぶんほうていしきIntegral equation とは、未知関数みちかんすうが積分せきぶんの中なかに現あらわれる方程式ほうていしきである。 $a < b$ 、 $λ \in R$ とし、 $g$ と $K$ は既知きち、 $y$ は実数値じっすうちの未知関数みちかんすうとする。

核かくKernelとは、積分項せきぶんこうに現あらわれる既知関数きちかんすう $K (x, t)$ であり、点てん $t$ の値あたいへ重おもみを付つけて点てん $x$ へ集あつめる役割やくわりを持もつ。

積分区間せきぶんくかんが固定こていされた

g (x) = \int_{a}^{b} K (x, t) y (t) d t, y (x) = g (x) + λ \int_{a}^{b} K (x, t) y (t) d t

をそれぞれ Fredholm 第だい 1 種しゅFredholm equation of the first kind、Fredholm 第だい 2 種しゅFredholm equation of the second kindという。第だい 1 種しゅは未知関数みちかんすうが積分項せきぶんこうにだけ現あらわれる逆問題ぎゃくもんだいであり、第だい 2 種しゅは $y$ 自身じしんも式しきに現あらわれる。

上端じょうたんが $x$ まで動うごく

y (x) = g (x) + λ \int_{a}^{x} K (x, t) y (t) d t

を Volterra 第だい 2 種しゅVolterra equation of the second kindという。「それまでの履歴りれきを足たす」という解釈かいしゃくは Volterra 型がたに対応たいおうする。 $y$ が積分せきぶんの中なかで線型せんけいに現あらわれれば線形積分方程式せんけいせきぶんほうていしき、 $F (t, y (t))$ のように非線形ひせんけいに現あらわれれば非線形積分方程式ひせんけいせきぶんほうていしきである。

3方針ほうしん

まず、初期値問題しょきちもんだいの微分方程式びぶんほうていしきを積分せきぶんして積分方程式せきぶんほうていしきへ書かき換かえる。そのあと、核かくが未知関数みちかんすうをどう重かさね合あわせるかを見みて、微分方程式びぶんほうていしきとの関係かんけいを整理せいりする。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

微分方程式びぶんほうていしきが「その点てんでの変化率へんかりつ」を言いうのに対たいして、Volterra 積分方程式せきぶんほうていしきは「それまでの寄与きよを足たし合あわせた結果けっか」を言いう。Fredholm 方程式ほうていしきは固定区間全体こていくかんぜんたいからの寄与きよを同時どうじに集あつめる。

だから記憶きおくや履歴りれきを持もつ現象げんしょうでは、とくに Volterra 積分方程式せきぶんほうていしきの形かたちが自然しぜんに出でてくる。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 微分方程式びぶんほうていしきから積分方程式せきぶんほうていしきへ

$I$ を $a$ を含ふくむ区間くかんとし、 $F : I \times R \to R$ は連続れんぞくとする。初期値問題しょきちもんだい

y^{'} (x) = F (x, y (x)), y (a) = y_{0}

を考かんがえる。これを $a$ から $x$ まで積分せきぶんすると

\int_{a}^{x} y^{'} (s) d s = \int_{a}^{x} F (s, y (s)) d s

である。微積分学びせきぶんがくの基本定理きほんていりより

y (x) - y (a) = \int_{a}^{x} F (s, y (s)) d s

だから

y (x) = y_{0} + \int_{a}^{x} F (s, y (s)) d s

を得える。これは一般いっぱんには非線形ひせんけいな Volterra 第だい 2 種しゅである。

逆ぎゃくに、 $y \in C (I)$ がこの積分式せきぶんしきを満みたすなら、 $F (s, y (s))$ は連続れんぞくである。微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりにより右辺うへんは $C^{1}$ となり、微分びぶんすれば $y^{'} = F (x, y)$ 、 $x = a$ を代入だいにゅうすれば $y (a) = y_{0}$ を得える。したがって

\begin{aligned} &y\in C^1(I),\quad y'=F(x,y),\quad y(a)=y_0\\ &\qquad\Longleftrightarrow\qquad y\in C(I),\quad y(x)=y_0+\int_a^xF(s,y(s))\,ds \end{aligned}\begin{aligned} &y\in C^1(I),\quad y'=F(x,y),\quad y(a)=y_0\\ &\qquad\Longleftrightarrow\qquad y\in C(I),\quad y(x)=y_0+\int_a^xF(s,y(s))\,ds \end{aligned}

である。この同値変形どうちへんけいと、解かいが存在そんざいすること・一意いちいであることは別問題べつもんだいである。たとえば $F$ が未知変数みちへんすうについて局所的きょくしょてきに Lipschitz 連続れんぞくなら、十分短じゅうぶんみじかい区間くかんで Picard 反復はんぷくを縮小写像しゅくしょううつしとして扱あつかい、局所解きょくしょかいの存在そんざいと一意性いちいせいを得えられる。連続性れんぞくせいだけでは一意性いちいせいは保証ほしょうされない。

5.22. 線形せんけいの積分方程式せきぶんほうていしき

$X = C ([a, b])$ を連続関数れんぞくかんすうの空間くうかんとし、

∥ y ∥_{\infty} := \max_{a [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] x [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] b} | y (x) |

と置おく。 $g \in X$ 、 $K \in C ([a, b]^{2})$ とし、

∥ K ∥_{\infty} := \max_{(x, t) \in [a, b]^{2}} | K (x, t) |

と定義ていぎする。また

T : X \to X, (T y) (x) := \int_{a}^{b} K (x, t) y (t) d t

と定義ていぎする。 $T$ は積分作用素せきぶんさようそであり、線型性せんけいせいは積分せきぶんの線型性せんけいせいから従したがう。また

| (T y) (x) | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \int_{a}^{b} | K (x, t) | | y (t) | d t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] (b - a) ∥ K ∥_{\infty} ∥ y ∥_{\infty}

なので、作用素さようそノルム

∥ T ∥ := \sup_{∥ y ∥_{\infty} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 1} ∥ T y ∥_{\infty}

は

∥ T ∥ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] (b - a) ∥ K ∥_{\infty}

である。 $I : X \to X$ を $I y = y$ で定義ていぎされる恒等作用素こうとうさようそとすると、Fredholm 第だい 2 種しゅは

(I - λ T) y = g

という線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきである。

5.33. 小ちいさい作用素さようそなら一意いちいに解とける

$q := | λ | ∥ T ∥ < 1$ とする。 $Φ (y) = g + λ T y$ と置おけば

∥ Φ (y) - Φ (z) ∥_{\infty} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] q ∥ y - z ∥_{\infty}

なので $Φ$ は縮小写像しゅくしょううつしである。 $y_{0} = g$ 、 $y_{n + 1} = Φ (y_{n})$ と反復はんぷくすると

∥ y_{n + 1} - y_{n} ∥_{\infty} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] q^{n} ∥ y_{1} - y_{0} ∥_{\infty}

である。 $m > n$ なら三角不等式さんかくふとうしきと等比級数とうひきゅうすうより

∥ y_{m} - y_{n} ∥_{\infty} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \frac{q^{n}}{1 - q} ∥ y_{1} - y_{0} ∥_{\infty} \to 0

なので $y_{n}$ は一様Cauchy列いちようコーシーれつになる。 $C ([a, b])$ では一様Cauchy列いちようコーシーれつの極限きょくげんも連続れんぞくなので、極限きょくげん $y \in X$ を持もつ。極限きょくげんを反復式はんぷくしきへ入いれれば $y = Φ (y)$ である。2 つの解かい $y, z$ があれば

∥ y - z ∥_{\infty} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] q ∥ y - z ∥_{\infty}

より $y = z$ なので一意いちいである。

反復はんぷくを展開てんかいすると Neumann 級数きゅうすうNeumann series

y = \sum_{n = 0}^{\infty} (λ T)^{n} g

を得える。 $| λ | ∥ T ∥ < 1$ は存在そんざいと一意性いちいせいの十分条件じゅうぶんじょうけんであり、必要条件ひつようじょうけんではない。

5.44. Volterra 方程式ほうていしきを反復はんぷくで解とく

y^{'} (x) = y (x), y (0) = 1

なら

y (x) = 1 + \int_{0}^{x} y (s) d s

と書かける。 $y_{0} (x) = 1$ から

y_{n + 1} (x) = 1 + \int_{0}^{x} y_{n} (s) d s

と反復はんぷくすると

y_{n} (x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}

を帰納的きのうてきに得える。この列れつは有界区間ゆうかいくかんで一様いちように

y (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = e^{x}

へ収束しゅうそくする。したがって積分形せきぶんけいは単たんなる書換かきかえではなく、逐次近似ちくじきんじによる解法かいほうにもなる。

5.55. 小ちいささの条件じょうけんを外はずすと何なにが起おこるか

$[a, b] = [0, 1]$ 、 $K (x, t) = 1$ とすると

(T y) (x) = \int_{0}^{1} y (t) d t

は定数関数ていすうかんすうを返かえす。 $y \equiv 1$ は $T y = y$ を満みたすので、1 は $T$ の固有値こゆうちである。 $λ = 1, g = 0$ なら $(I - T) y = 0$ は任意にんいの定数関数ていすうかんすうを解かいに持もち、一意いちいでない。

一方いっぽう、 $λ = 1, g \equiv 1$ で $y = 1 + T y$ とすると、両辺りょうへんを 0 から 1 まで積分せきぶんして $c = \int_{0}^{1} y (t) d t$ と置おけば $c = 1 + c$ となり矛盾むじゅんするので、解かいはない。

一般いっぱんに $λ \neq 0$ のとき、斉次方程式せいじほうていしき $(I - λ T) y = 0$ が非零解ひれいかいを持もつことは

T y = \frac{1}{λ} y

と同値どうちである。つまり $λ$ ではなく $1 / λ$ が $T$ の固有値こゆうちとなる場合ばあいに一意性いちいせいが失うしなわれる。

6見分みわけ方かた

未知関数みちかんすうが積分記号せきぶんきごうの中なかに入はいっていたら、積分方程式せきぶんほうていしきである。
上端じょうたんが $x$ なら Volterra 型がた、固定こていされた $b$ なら Fredholm 型がたを疑うたがう。
未知関数みちかんすうが積分項せきぶんこうだけにあれば第だい 1 種しゅ、 $y = g + λ T y$ なら第だい 2 種しゅである。
初期値問題しょきちもんだいを積分せきぶんした形かたちが現あらわれたら、仮定かていを確認かくにんして微分方程式びぶんほうていしきとの対応たいおうを考かんがえる。
核かく $K (x, t)$ が出でたら、「どの点てんからどの点てんへ影響えいきょうが伝つたわるか」を表あらわしていると読よむ。

7どこまで成立せいりつするか

ここでは $C ([a, b])$ と連続核れんぞくかくに範囲はんいを限定げんていした。Fredholm 第だい 2 種しゅの $| λ | ∥ T ∥ < 1$ は Neumann 級数きゅうすうが収束しゅうそくする十分条件じゅうぶんじょうけんであり、この条件じょうけんを外はずしても解かいが存在そんざいする場合ばあいはある。第だい 1 種しゅの安定性あんていせい、コンパクト作用素さようそに対たいする Fredholm の交代定理こうたいていり、正則化せいそくか、数値解法すうちかいほうにはさらに解析学かいせきがくの道具どうぐが必要ひつようである。

8最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] y^{'} = F (x, y), y (a) = y_{0} ⟺ y (x) = y_{0} + \int_{a}^{x} F (s, y (s)) d s

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] (I - λ T) y = g, (T y) (x) = \int_{a}^{b} K (x, t) y (t) d t

この同値どうちは $F$ の連続性れんぞくせいと、左辺さへんでは $y \in C^{1}$ 、右辺うへんでは $y \in C$ という条件じょうけんの下もとで用もちいる。また $g \in C ([a, b])$ 、 $K \in C ([a, b]^{2})$ かつ $| λ | ∥ T ∥ < 1$ なら第だい 2 種しゅ Fredholm 方程式ほうていしきは一意解いちいかい $y = \sum_{n [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0} (λ T)^{n} g$ を持もつ。

9一言ひとことでいうと

積分方程式せきぶんほうていしきは、未知関数みちかんすうを積分せきぶんで重かさね合あわせて決きめる方程式ほうていしきである。