用語と定義
スカラー場 とは、各点に 1 つの数を対応させる関数です。
ベクトル場 とは、各点に 1 つのベクトルを対応させる関数です。
勾配 とは、スカラー場 f に対して
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)
で定義されるベクトルです。
直感的な説明
たとえば温度の分布 f(x,y,z) を考えると、一番急に温度が上がる向きと、その増え方の大きさをまとめたものが勾配です。
また、流体の速度場を考えると、その点の近くで湧き出しているか吸い込んでいるかを発散が、渦のように回ろうとしているかを回転が表します。
厳密な説明
1. なぜ勾配はこの定義か
微小な変位 \Delta \mathbf r=(\Delta x,\Delta y,\Delta z) に対して、f の変化量は 1 次近似で
\Delta f\approx \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f}{\partial z}\Delta z
です。これは
\Delta f\approx \nabla f\cdot \Delta \mathbf r
と書けます。つまり勾配は、「どちらへ少し動くとどれだけ値が変わるか」を 1 本のベクトルにまとめたものとして自然に現れます。
とくに単位ベクトル \mathbf u の向きに微小に動くなら
\Delta \mathbf r=h\mathbf u
なので、
\Delta f\approx \nabla f\cdot (h\mathbf u)=h(\nabla f\cdot \mathbf u)
です。したがって方向微分は
D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot \mathbf u
となります。つまり勾配は、方向微分を全部まとめているベクトルです。
2. 発散
ベクトル場 \mathbf F=(P,Q,R) に対して
\nabla\cdot \mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
を発散と呼びます。これは、各方向の成分がその方向にどれだけ増えているかを足し合わせたもので、局所的な湧き出しや吸い込みを測ります。
この式が自然なのは、小さい直方体から出る流束を考えると見えます。x 方向だけ見ると、左右の面から出る流量の差は 1 次近似で
\frac{\partial P}{\partial x}\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z
です。これを y,z 方向でも同様に足し合わせると、
\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\Delta V
となります。したがって単位体積あたりの正味の流出量が発散です。
3. 回転
ベクトル場 \mathbf F=(P,Q,R) に対して
\nabla\times \mathbf F=
\left(
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}
\right)
を回転と呼びます。これは場が近くでどれだけ回ろうとしているかを表す量です。
たとえば xy 平面で \mathbf F=(P,Q,0) を考えると、小さい長方形の周りの循環は 1 次近似で
\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x\,\Delta y
になります。したがって z 方向の回転の成分を
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}
と定義するのが自然です。3 次元ではこれを各方向へ拡張したものが \nabla\times \mathbf F です。
最終形
\boxed{\Delta f\approx \nabla f\cdot \Delta \mathbf r}
\boxed{\nabla\cdot \mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}}
\boxed{\nabla\times \mathbf F=\text{[場/ば]の[局所的/きょくしょてき]な[回転/かいてん]を[表/あらわ]す}}