1. 変数分離形
\frac{dy}{dx}=xy
なら、
\frac{1}{y}\,dy=x\,dx
として
\int \frac{1}{y}\,dy=\int x\,dx
より
\log|y|=\frac{x^2}{2}+C
です。したがって
y=Ce^{x^2/2}
を得ます。
ただし、ここでは途中で y で割っているので、y=0 の場合を別に確認する必要があります。実際、もとの
\frac{dy}{dx}=xy
に y=0 を代入すると両辺 0 で成り立つので、y=0 も解です。これは C=0 とした場合に含まれますが、「割ったあとに消えた解がないかを見直す」という手順そのものが大切です。
2. 一階線形
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)
を考えます。ここで急に積分因子を覚えるのではなく、「左辺を積の微分にしたい」と考えます。
もし
\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)y\bigr)
の形にできれば、
\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)y\bigr)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)y
なので、もとの
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y
と見比べて
\mu'(x)=\mu(x)P(x)
になればよいことが分かります。したがって
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x)
を満たす \mu(x) を選べばよく、両辺を積分して
\log|\mu(x)|=\int P(x)\,dx + C
です。ここで定数倍の違いは最終的な積分定数に吸収できるので、積分因子を
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}
と取ります。
すると、
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\mu(x)Q(x)
の左辺は
\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)y\bigr)
になります。よって
\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)y\bigr)=\mu(x)Q(x)
を積分して
\mu(x)y=\int \mu(x)Q(x)\,dx + C
です。
3. 具体例
\frac{dy}{dx}+y=x
では P(x)=1 なので、
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^x
です。したがって
\frac{d}{dx}(e^x y)=xe^x
となり、
e^x y=\int xe^x\,dx + C
から解が求まります。
右辺の積分は部分積分を使って
\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=(x-1)e^x+C
だから、
e^x y=(x-1)e^x+C
すなわち
y=x-1+Ce^{-x}
です。こうして具体的な式まで下ろすと、積分因子法が単なる記号操作ではなく、積の微分へ直して積分する方法だと見えます。