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二階にかい線形せんけい微分方程式びぶんほうていしきの基本きほん

date2026-03-27description二階線形微分方程式を、指数関数形の解を試す理由から説明し、特性方程式による解法を丁寧に整理します。prerequisites一階微分方程式の基本 / 微分法の基本 / 指数関数と対数関数type講義statusactive

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導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、二階にかい線形せんけい微分方程式びぶんほうていしきでは、微分びぶんしても形かたちが崩くずれにくい関数かんすうを探さがすと、指数関数しすうかんすうと特性方程式とくせいほうていしきが自然しぜんに現あらわれることです。

完成形かんせいけいとして解かいの公式こうしきだけ覚おぼえると、なぜ $e^{r x}$ を仮定かていするのか、なぜ重解じゅうかいで $x e^{r x}$ が出でるのかが見みえません。ここでは、その発想はっそうを先さきに押おさえます。

用語ようごと定義ていぎ

二階にかい線形せんけい微分方程式びぶんほうていしきSecond-order linear differential equation とは、

a y^{'}' + b y^{'} + c y = f (x)

の形かたちをした方程式ほうていしきです。

特性方程式とくせいほうていしきCharacteristic equation とは、同次方程式どうじほうていしき

a y^{'}' + b y^{'} + c y = 0

に対たいして

a r^{2} + b r + c = 0

と作つくる 2 次方程式じほうていしきです。

方針ほうしん

まず同次方程式どうじほうていしきで、微分びぶんしても同おなじ形かたちを保たもつ関数かんすうとして $e^{r x}$ を試ためします。そのあと特性方程式とくせいほうていしきの解かいの場合分ばあいわけで一般解いっぱんかいを整理せいりし、初期条件しょきじょうけんで定数ていすうを決きめます。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

一階いっかい微分方程式びぶんほうていしきで $y^{'} = k y$ の解かいが $e^{k x}$ になったのは、微分びぶんしても指数関数しすうかんすうの形かたちが保たもたれるからでした。二階にかいでも同おなじ発想はっそうで、「微分びぶんを 2 回かいしても扱あつかいやすい関数かんすう」を試ためすと、やはり $e^{r x}$ が主役しゅやくになります。

厳密げんみつな説明せつめい

1. なぜ $e^{r x}$ を試ためすのか

同次方程式どうじほうていしき

a y^{'}' + b y^{'} + c y = 0

を考かんがえます。ここで

y = e^{r x}

とおくと

y^{'} = r e^{r x}, y^{'}' = r^{2} e^{r x}

だから

a r^{2} e^{r x} + b r e^{r x} + c e^{r x} = 0

です。 $e^{r x} \neq 0$ なので

a r^{2} + b r + c = 0

を得えます。これが特性方程式とくせいほうていしきです。

2. 解かいの場合分ばあいわけ

特性方程式とくせいほうていしきの解かいが異ことなる 2 実数解じっすうかい $r_{1}, r_{2}$ なら

y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}

です。

ここで 2 本ほんの解かいが必要ひつようなのは、二階にかい微分方程式びぶんほうていしきでは初期条件しょきじょうけんとして、ふつう $y (x_{0})$ と $y^{'} (x_{0})$ の 2 つを与あたえるからです。その 2 条件じょうけんを受うけ止とめるには、独立どくりつな定数ていすうが 2 つ要いります。

重解じゅうかい $r$ のときは $e^{r x}$ だけでは 1 本ほんしか独立どくりつな解かいが得えられません。そこで

y = x e^{r x}

を試ためすと、

y^{'} = e^{r x} + r x e^{r x}, y^{'}' = 2 r e^{r x} + r^{2} x e^{r x}

となり、重解じゅうかいの条件じょうけんのもとで確たしかに解かいになります。したがって

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r x}

です。

複素数解ふくそすうかいまで進すすむと、 $\cos$ や $\sin$ も現あらわれますが、ここではまず実数解じっすうかいと重解じゅうかいに絞しぼって見通みとおしを作つくります。

3. 具体例ぐたいれい

y^{'}' - 3 y^{'} + 2 y = 0

なら特性方程式とくせいほうていしきは

r^{2} - 3 r + 2 = 0

で、

(r - 1) (r - 2) = 0

だから $r = 1, 2$ です。よって

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}

を得えます。

見分みわけ方かた

$y^{'}'$ 、 $y^{'}$ 、 $y$ が一次いちじで並ならび、係数けいすうが定数ていすうなら、まず特性方程式とくせいほうていしきを疑うたがいます。
同次どうじか非同次ひどうじかを先さきに分わけ、まず同次方程式どうじほうていしきを解ときます。
重解じゅうかいが出でたら、2 本ほん目めの解かいとして $x e^{r x}$ を思おもい出だします。

どこまで成なり立たつか

ここで扱あつかったのは定数係数ていすうけいすうの二階にかい線形せんけい微分方程式びぶんほうていしきです。係数けいすうが $x$ によって変かわる場合ばあいや、非線形ひせんけいの場合ばあいには、このままの方法ほうほうでは解とけません。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a y^{'}' + b y^{'} + c y = 0 \Rightarrow a r^{2} + b r + c = 0

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] r_{1} \neq r_{2} \Rightarrow y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] r が重解 \Rightarrow y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r x}

一言ひとことでいうと

二階にかい線形せんけい微分方程式びぶんほうていしきでは、指数関数しすうかんすうを試ためすと特性方程式とくせいほうていしきが自然しぜんに出でてきます。