内積空間ないせきくうかんの基本きほん

1. 内積ないせきの公理こうり

内積ないせきの定義ていぎで大事だいじなのは、「平面へいめんの点積てんせきで成なり立たっていた、長ながさと角度かくどを扱あつかうのに必要ひつような性質せいしつだけを残のこす」ことです。

線形性せんけいせいがあると、和わや実数じっすう倍ばいに対たいして計算けいさんしやすくなります。対称性たいしょうせいがあると、「$$u$$u と $$v$$v の関係かんけい」を向むきを変かえても同おなじように測はかれます。正定値性せいていちせいがあると、$$⟨v,v⟩$$\langle v,v\rangle を長ながさの 2 乗じょうとして読よんでも矛盾むじゅんしません。

実じつ内積空間ないせきくうかんでは、任意にんいのベクトル $$u,v,w$$u,v,w と実数じっすう $$a$$a に対たいして

が成なり立たちます。

2. 長ながさと直交ちょっこう

内積ないせきがあれば

で長ながさを定義ていぎできます。ここで正定値性せいていちせいがあるから、根号こんごうの中なかは 0 以上いじょうで、しかも $$v\ne 0$$v\ne 0 なら正せいになります。だからこの定義ていぎは長ながさとして自然しぜんです。

また

のとき、$$u$$u と $$v$$v は直交ちょっこうすると言いいます。これは高校こうこうで $$u·v=\left|u\right|\left|v\right|\cos \theta$$u\cdot v=|u||v|\cos\theta だったことを思おもい出だすと自然しぜんです。$$\cos \theta =0$$\cos\theta=0 の状況じょうきょうを抽象化ちゅうしょうかすると、「内積ないせきが 0 なら直交ちょっこう」という定義ていぎになります。

3. 高校こうこうの内積ないせきとの関係かんけい

$$u=(u_1,u_2),v=(v_1,v_2)$$u=(u_1,u_2),\ v=(v_1,v_2) とすると

は高校こうこうで使つかう内積ないせきそのものです。したがって内積空間ないせきくうかんは、高校こうこうの図形的ずけいてきな感覚かんかくを一般化いっぱんかした概念がいねんだと見みられます。

4. ここからすぐ出でる重要じゅうような不等式ふとうしき

内積ないせきがあると、コーシー・シュワルツの不等式ふとうしき

が成なり立たちます。これは角度かくどを定義ていぎしたり、射影しゃえいを考かんがえたりするときの土台どだいです。

証明しょうめいの発想はっそうは、「長ながさの 2 乗じょうは負ふにならない」という正定値性せいていちせいを使つかうことです。任意にんいの実数じっすう $$t$$t に対たいして

は 0 以上いじょうです。これを展開てんかいすると

です。これは $$t$$t の 2 次式じしきで、すべての $$t$$t で 0 以上いじょうだから判別式はんべつしきは 0 以下いかです。したがって

すなわち

です。ここで $$⟨u,u⟩=\parallel u{\parallel }^2$$\langle u,u\rangle=\|u\|^2、$$⟨v,v⟩=\parallel v{\parallel }^2$$\langle v,v\rangle=\|v\|^2 を使つかえば

を得えます。

この不等式ふとうしきがあるから、内積ないせきを長ながさで割わった値あたいが $$-1$$-1 から $$1$$1 の間あいだに収おさまり、角度かくどの概念がいねんまで導入どうにゅうできます。

実際じっさい、$$u\ne 0,v\ne 0$$u\ne 0,\ v\ne 0 なら

と定義ていぎしても、コーシー・シュワルツの不等式ふとうしきによって右辺うへんはかならず $$-1$$-1 から $$1$$1 の間あいだに入はいります。だから逆余弦ぎゃくよげんを使つかって角度かくど $$\theta$$\theta を定義ていぎできます。つまりコーシー・シュワルツの不等式ふとうしきは、見みた目めには単たんなる評価式ひょうかしきですが、内積空間ないせきくうかんで角度かくどを語かたるための基礎きそそのものです。