1. 2 本の場合
ここで射影や内積の意味がまだ曖昧なら、先にこちらへ戻ると読みやすくなります。
data/lecture/math/linear-algebra/内積空間の基本-講義.n.md
一次独立な v_1,v_2 から始めます。
まず
u_1=v_1
とおきます。つぎに v_2 から u_1 方向の成分を引いて
u_2=v_2-\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1
とすると、u_1 と u_2 は直交します。
これを実際に確かめると、
\langle u_2,u_1\rangle
=
\left\langle
v_2-\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1,\,
u_1
\right\rangle
だから、
\langle u_2,u_1\rangle
=
\langle v_2,u_1\rangle
-
\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\langle u_1,u_1\rangle
=0
です。つまり、v_2 から u_1 方向の射影だけを引くと、u_1 に直交する成分だけが残ります。
2. 一般の形
v_1,\dots,v_n から
u_1=v_1
u_k=v_k-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}u_j
で u_1,\dots,u_n を作ると、これらは互いに直交し、もとの基底と同じ部分空間を張ります。
ここで大事なのは、新しい u_k は v_k から前の u_1,\dots,u_{k-1} の線形結合を引いて作っているので、
u_k\in \operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)
です。したがって u_1,\dots,u_k は必ず v_1,\dots,v_k の張る空間の中にあります。
逆に
v_k
=
u_k+\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}u_j
と戻せるので、
v_k\in \operatorname{span}(u_1,\dots,u_k)
です。したがって両者は同じ部分空間を張ります。