逆行列ぎゃくぎょうれつの基本きほん

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、逆行列ぎゃくぎょうれつは公式こうしきとして覚おぼえるものではなく、「写像しゃぞうを元もとに戻もどせるか」という視点してんで理解りかいするものだということです。

行列ぎょうれつ $$A$$A が入力にゅうりょくを出力しゅつりょくへ送おくるなら、逆行列ぎゃくぎょうれつ $$A^{-1}$$A^{-1} はその出力しゅつりょくを元もとの入力にゅうりょくへ戻もどす役割やくわりをもちます。元もとに戻もどせないなら、逆行列ぎゃくぎょうれつは存在そんざいしません。

用語ようごと定義ていぎ

逆行列ぎゃくぎょうれつInverse matrix とは、$$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$$AA^{-1}=A^{-1}A=I を満みたす行列ぎょうれつです。

単位行列たんいぎょうれつIdentity matrix とは、掛かけても何なにも変かえない行列ぎょうれつ $$I$$I です。

方針ほうしん

まず逆行列ぎゃくぎょうれつを「元もとに戻もどす写像しゃぞう」として見みます。そのあと、掃はき出だし法ほうで $$A$$A を $$I$$I に変形へんけいする過程かていが、そのまま $$A^{-1}$$A^{-1} を作つくる過程かていになることを見みます。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

拡大かくだいだけなら、あとで縮小しゅくしょうすれば元もとに戻もどせます。回転かいてんだけなら、逆向ぎゃくむきに回転かいてんすれば戻もどせます。しかし、平面へいめんを 1 本ぽんの直線ちょくせんへつぶしてしまう写像しゃぞうは、情報じょうほうが失うしなわれるので元もとに戻もどせません。これが逆行列ぎゃくぎょうれつがない場合ばあいです。

厳密げんみつな説明せつめい

見分みわけ方かた

• 写像しゃぞうを元もとに戻もどしたい、または $$Ax=b$$Ax=b を一括いっかつで解ときたいなら、逆行列ぎゃくぎょうれつを疑うたがいます。
• 掃はき出だして左側ひだりがわを $$I$$I にできるかが、存在判定そんざいはんていの鍵かぎです。
• 行列式ぎょうれつしきが 0 でないことも判定はんていに使つかえますが、本質ほんしつは元もとに戻もどせるかです。

最終形さいしゅうけい

一言ひとことでいうと

• 逆行列ぎゃくぎょうれつは、行列ぎょうれつが表あらわす変換へんかんを元もとに戻もどせるときにだけ存在そんざいします。