階数かいすうの基本きほん

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、階数かいすうは行列ぎょうれつの中なかに非零ひれいの数かずがいくつあるかではなく、その行列ぎょうれつが本質的ほんしつてきに何次元なんじげんぶんの情報じょうほうを保たもっているかを表あらわす量りょうだということです。

掃はき出だし法ほうを学まなんだあとで、ただ解とき方かただけが残のこると、なぜ主役しゅやくになる列れつの本数ほんすうが大事だいじなのかが見みえません。その本数ほんすうこそが階数かいすうで、解かいの個数こすうや写像しゃぞうの潰つぶれ方かたに直結ちょっけつします。

用語ようごと定義ていぎ

階数かいすうRank とは、行列ぎょうれつの独立どくりつな行ぎょうまたは列れつの最大個数さいだいこすうです。

方針ほうしん

まず掃はき出だし法ほうで行列ぎょうれつを簡単かんたんな形かたちへ直なおします。そのあと、主役しゅやくになる列れつがいくつ立たったかを数かぞえて階数かいすうを読よみます。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

2 次元じげん平面へいめんを 1 本ぽんの直線ちょくせんへつぶす写像しゃぞうは、2 次元じげんの情報じょうほうを 1 次元じげんに圧縮あっしゅくしています。このとき階数かいすうは 1 です。何なにもつぶさず平面へいめんをそのまま平面へいめんへ送おくるなら階数かいすうは 2 です。

厳密げんみつな説明せつめい

見分みわけ方かた

• 掃はき出だし結果けっかから解かいの個数こすうを判断はんだんしたいなら、階数かいすうを見みます。
• 写像しゃぞうが何次元なんじげんぶん潰つぶれているかを知しりたいときにも、階数かいすうが有効ゆうこうです。

最終形さいしゅうけい

一言ひとことでいうと

• 階数かいすうは、行列ぎょうれつや写像しゃぞうが本質的ほんしつてきに何次元なんじげんぶん働はたらいているかを表あらわす数かずです。