回転運動かいてんうんどうの基本きほん

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、回転運動かいてんうんどうは直線運動ちょくせんうんどうを別物べつものとして覚おぼえるのではなく、位置いち・速度そくど・加速度かそくどを角度かくどで表あらわし直なおしたものとして見みることです。

円運動えんうんどうでは物体ぶったいが円えんの上うえを動うごくので、位置いちを長ながさだけでなく角度かくどでも表あらわせます。この見方みかたに慣なれると、回転かいてんの速はやさや加速かそくの意味いみが整理せいりしやすくなります。

用語ようごと定義ていぎ

角速度かくそくどAngular velocity とは、角度かくどの時間変化じかんへんか $$\omega =\frac{d\theta }{dt}$$\omega=\frac{d\theta}{dt} です。

角加速度かくかそくどAngular acceleration とは、角速度かくそくどの時間変化じかんへんか $$\alpha =\frac{d\omega }{dt}$$\alpha=\frac{d\omega}{dt} です。

方針ほうしん

まず直線運動ちょくせんうんどうの $$x,v,a$$x,v,a に対応たいおうするものとして $$\theta ,\omega ,\alpha$$\theta,\omega,\alpha を置おきます。そのあと、円えんの半径はんけい $$r$$r を使つかって線速度せんそくどや向心加速度こうしんかそくどへ戻もどします。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

回転かいてんしている物体ぶったいでは、1 秒びょうでどれだけ角度かくどが進すすむかを見みるほうが自然しぜんです。ただし、実際じっさいに空間くうかんの中なかで動うごいているのは円周えんしゅうに沿そった位置いちなので、最後さいごに長ながさへ戻もどす橋はしが必要ひつようです。それが $$v=r\omega$$v=r\omega です。

厳密げんみつな説明せつめい

見分みわけ方かた

• 円運動えんうんどうや回転かいてんが出でたら、まず $$\theta ,\omega ,\alpha$$\theta,\omega,\alpha で書かけないか考かんがえます。
• 速はやさだけでなく向むきが変かわるので、加速度かそくどが 0 とは限かぎらないことに注意ちゅういします。
• 中心ちゅうしんへ向むかう加速度かそくどが必要ひつようだと見みえたら、向心加速度こうしんかそくどを疑うたがいます。
• 回転かいてんの速はやさも変かわっているなら、$$a_n=\frac{v^2}{r}$$a_n=\frac{v^2}{r} だけでなく $$a_t=r\alpha$$a_t=r\alpha も要ようります。

どこまで成なり立たつか

ここで使つかった $$v=r\omega$$v=r\omega や $$a_t=r\alpha$$a_t=r\alpha は、半径はんけい $$r$$r が一定いっていの回転かいてんを前提ぜんていにしています。また $$a_n=\frac{v^2}{r}$$a_n=\frac{v^2}{r} は曲率半径きょくりつはんけいが $$r$$r の円運動えんうんどうで成なり立たつ式しきです。半径はんけいが時間じかんで変かわる運動うんどうや、円えんでない曲線運動きょくせんうんどうでは、そのままでは使つかえません。

最終形さいしゅうけい

一言ひとことでいうと

• 回転運動かいてんうんどうは、直線運動ちょくせんうんどうを角度かくどで書かき直なおしてから、長ながさの世界せかいへ戻もどすと整理せいりしやすくなります。