標本化ひょうほんかと標本化定理ひょうほんかていりの基本きほん

1. 標本化ひょうほんか

連続信号れんぞくしんごう $$x\left(t\right)$$x(t) を標本化間隔ひょうほんかかんかく $$T_s$$T_s で読よみ取とると

という離散信号りさんしんごうを得えます。ここで

です。

この式しきが自然しぜんなのは、標本ひょうほんを 1 回かい取とるたびに $$T_s$$T_s だけ時間じかんが進すすむからです。つまり $$T_s$$T_s は 1 回かいあたりの時間間隔じかんかんかくで、$$f_s$$f_s はその逆数ぎゃくすうとしての「1 秒びょうあたりの回数かいすう」になっています。

2. 周波数領域しゅうはすうりょういきで何なにが起おこるか

時間領域じかんりょういきでの標本化ひょうほんかは、周波数領域しゅうはすうりょういきでは元もとのスペクトルが $$f_s$$f_s ごとに繰くり返かえされることに対応たいおうします。

時間領域じかんりょういきで標本化ひょうほんかするとは、連続信号れんぞくしんごうを等間隔とうかんかくの点列てんれつで抜ぬき出だすことです。周波数領域しゅうはすうりょういきでは、この等間隔とうかんかくの点列てんれつが周期的しゅうきてきな構造こうぞうを持もつため、元もとのスペクトルが整数倍せいすうばいの $$f_s$$f_s だけずれた位置いちに複写ふくしゃされます。ここが「標本化ひょうほんかすると周波数領域しゅうはすうりょういきで繰くり返かえしが起おこる」という核心かくしんです。

したがって元もとの信号しんごうの最高周波数さいこうしゅうはすうを $$B$$B とすると、

なら複写ふくしゃされたスペクトルどうしが重かさならず、元もとの信号しんごうを復元ふくげんできます。

3. 標本化定理ひょうほんかていり

帯域制限たいいきせいげんされた信号しんごうの最高周波数さいこうしゅうはすうが $$B$$B なら、

で完全かんぜんに復元ふくげんできます。これが標本化定理ひょうほんかていりです。

なぜ $$2B$$2B が境界きょうかいになるかというと、元もとのスペクトルが $$-B$$-B から $$B$$B まで広ひろがっているなら、右みぎへ $$f_s$$f_s だけずらした複写ふくしゃの左端ひだりはしは $$f_s-B$$f_s-B に来きます。これが元もとの右端みぎはし $$B$$B より右みぎにあれば重かさなりません。したがって

すなわち

が必要ひつようであり、十分じゅうぶんでもあります。

4. 折おり返かえしひずみ

もし $$f_s<2B$$f_s<2B なら、高たかい周波数成分しゅうはすうせいぶんが低ひくい周波数成分しゅうはすうせいぶんとして見みえてしまいます。これがエイリアシングです。

たとえば $$f_0$$f_0 の正弦波せいげんはを標本化ひょうほんかしたとき、$$f_0$$f_0 と $$f_s-f_0$$f_s-f_0 は標本点ひょうほんてんの上うえで同おなじ列れつを作つくることがあります。これが「別べつの周波数しゅうはすうなのに同おなじデータへ見みえる」理由りゆうです。

時間領域じかんりょういきの見方みかた

一定間隔いっていかんかくで点てんを取とる操作そうさとして標本化ひょうほんかを見みる見方みかたです。

周波数領域しゅうはすうりょういきの見方みかた

スペクトルが繰くり返かえし現あらわれ、その重かさなりが折おり返かえしを生うむと見みる見方みかたです。こちらの見方みかたのほうが、標本化定理ひょうほんかていりの本質ほんしつは見みえやすくなります。

離散時間りさんじかんの見方みかた

標本化ひょうほんかしたあとを数列すうれつ $$x\left[n\right]$$x[n] として見みる見方みかたです。こちらでは、連続時間れんぞくじかんの信号しんごうが離散的りさんてきな系列けいれつへ移うつり、差分方程式さぶんほうていしきやデジタルフィルタの話はなしへ接続せつぞくしやすくなります。