厳密な説明
1. なぜ周波数で見るのか
時間領域の信号 x(t) は、フーリエ変換
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}\,dt
で周波数成分へ分解できます。
線形時不変の系では、複素指数関数 e^{i\omega t} が固有関数になるので、周波数ごとに入力がどう変わるかを別々に追えます。これが通信で周波数領域が重要な理由です。
ここで固有関数というのは、系へ入れても形が保たれて、大きさや位相だけが変わる関数ということです。たとえば微分しても
\frac{d}{dt}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t}
で、同じ形のまま定数倍されます。だから複雑な波形も、こうした単純な成分へ分解すると扱いやすくなります。
2. 変調の必要性
情報信号を m(t)、搬送波を \cos\omega_c t とすると、もっとも基本的な振幅変調は
s(t)=\left(1+k\,m(t)\right)\cos\omega_c t
の形で書けます。
ここで搬送波を掛けると、周波数の中心が \omega_c の近くへ移ります。つまり低周波の情報を、送信しやすい高周波の帯域へ移しているわけです。
複素指数関数で見ると、この周波数移動はさらに分かりやすくなります。
\cos\omega_c t=\frac{e^{i\omega_c t}+e^{-i\omega_c t}}{2}
なので、時間領域で m(t) に e^{i\omega_c t} を掛けることは、周波数領域でスペクトルを \omega_c だけ平行移動することに対応します。これが変調の核心です。
3. 雑音の見方
受信信号を
r(t)=s(t)+n(t)
とします。n(t) が雑音です。
雑音があるときは、信号そのものの大きさだけでなく、雑音に比べてどれだけ強いかを見る必要があります。これが SNR
\mathrm{SNR}=\frac{\text{signal power}}{\text{noise power}}
です。
振幅そのものではなく電力を比べるのは、受信側で本当に問題になるのが「どれだけ強く届いているか」だからです。雑音が確率的なら、瞬間値より平均電力や分散のほうが意味を持ちます。
4. 帯域の意味
信号が広い周波数成分を持つと、それを通すための帯域も広く必要です。したがって通信では、
- どれだけ速く情報を送りたいか
- どれだけ広い帯域を使えるか
- 雑音の中でどこまで誤りなく受信したいか
の兼ね合いを考えます。
最終形
\boxed{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}\,dt}
\boxed{s(t)=\left(1+k\,m(t)\right)\cos\omega_c t}
\boxed{\mathrm{SNR}=\frac{\text{signal power}}{\text{noise power}}}