フィードバック制御せいぎょの基本きほん

1. 一次いちじ遅おくれの系けい

入力にゅうりょく $$u\left(t\right)$$u(t) と出力しゅつりょく $$y\left(t\right)$$y(t) が

を満みたすとします。$$\tau$$\tau は時定数じていすう、$$K$$K はゲインです。

この式しきは、「出力しゅつりょくが急きゅうには変かわれず、入力にゅうりょくへ少すこしずつ追おいつく」ことを表あらわしています。

2. 時間領域じかんりょういきの見方みかた

入力にゅうりょくを一定いってい $$u\left(t\right)=u_0$$u(t)=u_0 とすると、

です。これは平衡点へいこうてん $$y=K{u}_0$$y=Ku_0 を持もつ一次いちじ微分方程式びぶんほうていしきで、解かいは

となります。したがって出力しゅつりょくは指数関数的しすうかんすうてきに目標値もくひょうちへ近ちかづきます。

ここで $$\tau$$\tau が時定数じていすうと呼よばれるのは、$$e^{-t/\tau }$$e^{-t/\tau} の指数しすうに直接ちょくせつ現あらわれ、応答おうとうの速はやさを支配しはいするからです。$$\tau$$\tau が小ちいさいほど速はやく、$$\tau$$\tau が大おおきいほどゆっくり目標値もくひょうちへ近ちかづきます。

3. 伝達関数でんたつかんすうの見方みかた

初期値しょきちを 0 としてラプラス変換へんかんすると

なので

です。これが伝達関数でんたつかんすうです。

伝達関数でんたつかんすうを使つかう理由りゆうは、微分方程式びぶんほうていしきをそのつど解とかなくても、「どの周波数しゅうはすうの入力にゅうりょくをどれだけ通とおすか」という性質せいしつを直接ちょくせつ見みられるからです。ここで分母ぶんぼ $$\tau s+1$$\tau s+1 の根こんが極きょくで、安定性あんていせいや減衰げんすいのしやすさを決きめます。

4. 負帰還ふきかんを入いれる

目標値もくひょうちを $$r$$r、誤差ごさを $$e=r-y$$e=r-y として、入力にゅうりょくを

とします。ここで $$C$$C は制御器せいぎょきのゲインです。すると

より

なので

です。

この分母ぶんぼの $$1+G\left(s\right)C$$1+G(s)C が、閉とじたループの安定性あんていせいや応答おうとうを決きめます。

なぜ負帰還ふきかんで $$1+GC$$1+GC になるかというと、出力しゅつりょくが誤差ごさを減へらす向むきに戻もどるからです。もし $$u=C(r+y)$$u=C(r+y) のような正帰還せいきかんなら、同おなじ計算けいさんで分母ぶんぼは $$1-GC$$1-GC になり、小ちいさなずれが増幅ぞうふくされやすくなります。

時間領域じかんりょういきの見方みかた

微分方程式びぶんほうていしきを解といて、時間じかんとともに出力しゅつりょくがどう変かわるかを見みる見方みかたです。

周波数領域しゅうはすうりょういきの見方みかた

ラプラス変換へんかんや伝達関数でんたつかんすうを使つかい、極きょくや零点れいてんで系けいの性質せいしつを見みる見方みかたです。こちらの見方みかただと、ブロック線図せんずや周波数応答しゅうはすうおうとうへ進すすみやすくなります。

線形代数的せんけいだいすうてきな見方みかた

状態変数じょうたいへんすうを使つかうと、制御せいぎょは行列ぎょうれつで時間発展じかんはってんを追おう問題もんだいとしても見みられます。こちらは多入力多出力たにゅうりょくたしゅつりょくシステムへ自然しぜんに広ひろがります。