体たいの基本きほん

1. なぜ体たいが必要ひつようか

環かんだけでは掛かけ算ざんの逆元ぎゃくげんがあるとは限かぎりません。すると

を解ときたくても、$$a^{-1}$$a^{-1} を掛かけて

とする操作そうさができません。

したがって線形方程式せんけいほうていしきや多項式たこうしきを系統的けいとうてきに扱あつかうには、0 以外いがいの元げんに逆元ぎゃくげんがある世界せかいが欲ほしくなります。

2. 典型例てんけいれい

は体たいです。0 でない数かずなら逆数ぎゃくすうがあるからです。

一方いっぽうで $$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z} は体たいではありません。2 の逆元ぎゃくげんが整数せいすうの中なかにないからです。

3. mod 演算えんざんで体たいになるのはいつか

$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} が体たいになるのは、$$n$$n が素数そすうのときです。

まず $$n=p$$n=p を素数そすうとします。$$\left[a\right]\ne \left[0\right]$$[a]\neq [0] なら $$p\nmid a$$p\nmid a です。素数そすうの性質せいしつから

なので、$$ax+py=1$$ax+py=1 を満みたす整数せいすう $$x,y$$x,y が存在そんざいします。これを mod $$p$$p で見みると

だから $$\left[a\right]$$[a] は逆元ぎゃくげん $$\left[x\right]$$[x] を持もちます。

逆ぎゃくに $$n$$n が合成数ごうせいすうで、$$n=ab$$n=ab と分解ぶんかいできるなら

で、$$\left[a\right]$$[a] も $$\left[b\right]$$[b] も $$\left[0\right]$$[0] ではありません。すると零因子れいいんしがあり、0 でないすべての元げんが可逆かぎゃくという条件じょうけんを満みたせません。したがって $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} は体たいではありません。

4. 体たいの上うえで線形代数せんけいだいすうが動うごく理由りゆう

連立一次方程式れんりついちじほうていしきで掃はき出だし法ほうを使つかうとき、主成分しゅせいぶんを 1 にするために割わり算ざんをします。これは係数けいすうが体たいの中なかにあるから正当化せいとうかできます。

つまり体たいは、代数だいすうや線形代数せんけいだいすうを滑なめらかに進すすめるための基盤きばんです。

方程式ほうていしきの見方みかた

割わり算ざんができるから方程式ほうていしきが解ときやすい世界せかいとして見みる見方みかたです。

構造的こうぞうてきな見方みかた

環かんのうち、0 以外いがいで割わり算ざんができるものを抜ぬき出だした構造こうぞうとして見みる見方みかたです。

有限体ゆうげんたいの見方みかた

$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} のように、元げんの数かずが有限ゆうげんでも体たいになれると見みる見方みかたです。ここから符号理論ふごうりろんや暗号あんごうへもつながります。