同値関係どうちかんけいと剰余類じょうよりるいの基本きほん

date2026-03-28description同値関係を、対象を同じものとしてまとめる規則として導入し、剰余類が自然に現れる理由まで説明します。prerequisites整数の性質の基本 / 集合と写像の基本type講義statusactive

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導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、数学すうがくでは「本当ほんとうに区別くべつしたい違ちがい」だけを残のこすために、同値関係どうちかんけいで対象たいしょうをまとめることです。

たとえば整数せいすうを 5 で割わった余あまりだけが重要じゅうようなら、5 差さだけ違ちがう数かずは同おなじものとして見みたいはずです。この「同おなじとみなす規則きそく」が同値関係どうちかんけいで、そうしてできる分類ぶんるいの 1 つ 1 つが剰余類じょうよりるいです。

同値関係どうちかんけいEquivalence relation とは、集合しゅうごうの要素ようそどうしに「同おなじとみなす」規則きそくを与あたえる関係かんけいで、反射律はんしゃりつ、対称律たいしょうりつ、推移律すいいりつを満みたすものです。

剰余類じょうよりるいResidue class とは、ある同値関係どうちかんけいで同おなじとみなされる要素ようそをひとまとめにした集合しゅうごうです。

まず、なぜ同値関係どうちかんけいが 3 つの条件じょうけんを必要ひつようとするかを見みます。そのあと、整数せいすうの差さが $n$ の倍数ばいすうであるという関係かんけいから剰余類じょうよりるいを作つくります。

対象たいしょうをそのまま全部ぜんぶ区別くべつしていると、本質ほんしつが見みえにくいことがあります。余あまりだけを見みたいなら、7 と 12 と 17 を別々べつべつに持もつより、「5 で割わると 2 余あまる仲間なかま」としてひとまとめにしたほうが自然しぜんです。

同おなじとみなす規則きそくなら、自分自身じぶんじしんは自分じぶんと同おなじでなければなりません。これが反射律はんしゃりつです。

また $a$ と $b$ を同おなじとみなすなら、 $b$ と $a$ も同おなじでなければ不自然ふしぜんです。これが対称律たいしょうりつです。

さらに $a$ と $b$ 、 $b$ と $c$ が同おなじなら、 $a$ と $c$ も同おなじでなければ分類ぶんるいが壊こわれます。これが推移律すいいりつです。

a \sim b ⟺ n ∣ (a - b)

と定さだめます。これは「 $a$ と $b$ の差さが $n$ の倍数ばいすうなら同おなじとみなす」という意味いみです。

この関係かんけいが同値関係どうちかんけいであることを確たしかめます。

a - a = 0

で、0 はどんな $n$ の倍数ばいすうでもあるので $a \sim a$ です。

a - b = n k

なら

b - a = - n k

で、これも $n$ の倍数ばいすうです。

a - b = n k, b - c = n ℓ

なら

a - c = (a - b) + (b - c) = n (k + ℓ)

で、やはり $n$ の倍数ばいすうです。

この同値関係どうちかんけいで $a$ と同おなじ仲間なかまを

[a] = {x \in Z ∣ x \sim a}

と書かきます。これが $a$ の剰余類じょうよりるいです。

たとえば $n = 5$ なら

[2] = {[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], - 8, - 3, 2, 7, 12, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")]}

です。ここでは「5 で割わると 2 余あまる整数せいすうの全部ぜんぶ」がひとまとめになっています。

整数せいすうそのものを見みるかわりに剰余類じょうよりるいを見みると、「余あまりだけを覚おぼえておけばよい」計算けいさんができます。これが合同式ごうどうしきや $[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"bmod\")")] n$ 演算えんざんの土台どだいです。

同値関係どうちかんけいを「対象たいしょうを何種類なんしゅるいかの箱はこへ分わける規則きそく」として見みる見方みかたです。

$a - b$ が $n$ の倍数ばいすうかどうかで決きまる関係かんけいとして見みる見方みかたです。こちらでは合同式ごうどうしきや演算えんざんと結むすびつきやすくなります。

ここでは整数せいすうの上うえで差さが $n$ の倍数ばいすうかどうかを使つかいましたが、同値関係どうちかんけいそのものは整数せいすうに限かぎりません。図形ずけい、関数かんすう、行列ぎょうれつでも「どこまでを同おなじとみなすか」によって商集合しょうしゅうごうを作つくれます。

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a \sim b ⟺ n ∣ (a - b)

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] [a] = {x \in Z ∣ x \sim a}