環かんの基本きほん

1. なぜ足たし算ざんは群ぐんで、掛かけ算ざんはそうでないのか

整数せいすうでは、$$a+b$$a+b はいつでも整数せいすうで、0 が単位元たんいげん、$$-a$$-a が逆元ぎゃくげんです。したがって足たし算ざんについては群ぐんになります。

一方いっぽうで掛かけ算ざんでは、1 は単位元たんいげんですが、たとえば 2 の逆元ぎゃくげん $$1/2$$1/2 は整数せいすうではありません。だから掛かけ算ざんについては群ぐんにしません。この非対称性ひたいしょうせいが環かんの特徴とくちょうです。

2. 分配法則ぶんぱいほうそくがなぜ重要じゅうようか

足たし算ざんと掛かけ算ざんが別々べつべつにあるだけでは、整数せいすうの計算けいさんらしさは出でません。

があることで、展開てんかいや因数分解いんすうぶんかい、合同式ごうどうしきでの演算えんざんが意味いみを持もちます。

3. 整数せいすう $$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z} は環かん

$$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z} は足たし算ざんについて可換群かかんぐんで、掛かけ算ざんも閉とじていて結合けつごうし、分配法則ぶんぱいほうそくも成なり立たつので環かんです。

4. $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} も環かん

剰余類じょうよりるいの上うえで

と定さだめると、これは代表元だいひょうげんの選えらび方かたによらず定義ていぎできました。したがって $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} も環かんです。

ここで重要じゅうようなのは、mod 演算えんざんは「余あまりの計算けいさん」であるだけでなく、「環かんの上うえの演算えんざん」でもあることです。

5. 環かんの中なかで割わり算ざんはいつできるか

環かんでは掛かけ算ざんの逆元ぎゃくげんは一般いっぱんにはありません。$$a$$a に逆元ぎゃくげん $$a^{-1}$$a^{-1} があるとき、その $$a$$a を可逆元かぎゃくげんと呼よびます。

たとえば $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} では、$$\left[a\right]$$[a] が可逆元かぎゃくげんであるのは

のときです。ここに整数せいすうの最大公約数さいだいこうやくすうが再ふたたび現あらわれます。

高校数学こうこうすうがくに近ちかい見方みかた

整数せいすうや mod 演算えんざんの計算けいさん規則きそくを整理せいりする見方みかたです。

代数的だいすうてきな見方みかた

足たし算ざんと掛かけ算ざんの相互作用そうごさようだけを抜ぬき出だして見みる見方みかたです。

構造的こうぞうてきな見方みかた

$$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z} と $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} が別べつの対象たいしょうではなく、「同おなじ型かたの構造こうぞう」として比較ひかくできると見みる見方みかたです。