群ぐんの基本きほん

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、群ぐんとは「演算えんざんしても世界せかいの中なかに戻もどり、単位元たんいげんと逆元ぎゃくげんがあり、順番じゅんばんを付つけずに括弧かっこの位置いちを変かえてよい」構造こうぞうを抜ぬき出だしたものだということです。

整数せいすうの加法かほう、mod $$n$$n の加法かほう、回転かいてん、可逆行列かぎゃくぎょうれつの積せきは、見みた目めは違ちがっても同おなじ構造こうぞうを持もっています。その共通部分きょうつうぶぶんだけを言葉ことばにしたのが群ぐんです。

用語ようごと定義ていぎ

群ぐんGroup とは、集合しゅうごう $$G$$G と演算えんざん $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$$\ast の組くで、つぎを満みたすものです。

• 閉包性へいほうせい: $$a,b\in G$$a,b\in G なら $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b\in G$$a\ast b\in G
• 結合法則けつごうほうそく: $$\left(a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}c=a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}\left(b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}c\right)$$(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)
• 単位元たんいげんの存在そんざい
• 逆元ぎゃくげんの存在そんざい

方針ほうしん

まず、なぜ群ぐんの定義ていぎがこの 4 つなのかを見みます。そのあと、整数せいすうの加法かほう、mod $$n$$n の加法かほう、行列ぎょうれつの例れいを比くらべます。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

演算えんざんをしても外そとへ飛とび出ださず、何なにもしない元げんがあり、元もとに戻もどす操作そうさもあるなら、その世界せかいでは演算えんざんを安心あんしんして繰くり返かえせます。群ぐんは、この「計算けいさんしても壊こわれない世界せかい」を抽象化ちゅうしょうかしたものです。

厳密げんみつな説明せつめい

別べつの見方みかた

見分みわけ方かた

• 演算えんざんを繰くり返かえしても世界せかいの中なかに残のこるかを見みるときは、群ぐんを疑うたがいます。
• mod 演算えんざんを構造こうぞうとして見みたいときは、$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} の加法群かほうぐんを考かんがえます。

どこまで成なり立たつか

ここでは群ぐんまで扱あつかいましたが、演算えんざんが 2 種類しゅるいあると環かんや体たいへ進すすみます。mod 演算えんざんも、足たし算ざんだけでなく掛かけ算ざんまで考かんがえると、さらに豊ゆたかな構造こうぞうが見みえてきます。

最終形さいしゅうけい

一言ひとことでいうと

• 群ぐんとは、「演算えんざんしても壊こわれず、元もとへ戻もどす操作そうさまで含ふくんだ世界せかい」を抽象化ちゅうしょうかしたものです。