外積がいせきの基本きほん

date2026-03-28description外積を、面積と向きを表す量として説明し、なぜ右手系と行列式の形が現れるのかまで整理します。prerequisitesベクトルと内積 / 行列式type講義statusactive

mathvectorundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、外積がいせきを、2 本ほんのベクトルが張はる平行四辺形へいこうしへんけいの面積めんせきと、その向むきを同時どうじに表あらわす量りょうとして理解りかいすることです。

内積ないせきが「どれだけ同おなじ向むきか」を測はかるのに対たいして、外積がいせきは「どれだけ面めんを張はるか」と「その面めんに垂直すいちょくな向むき」を表あらわします。力学りきがくの角運動量かくうんどうりょうや電磁気でんじきのローレンツ力りょく、ビオ・サバールの法則ほうそくで外積がいせきが出でるのは、この意味いみがあるからです。

用語ようごと定義ていぎ

外積がいせきCross product は、3 次元じげんのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ に対たいして

| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ

を満みたし、右手みぎての向むきで決きまるベクトルです。

成分表示せいぶんひょうじでは

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

です。

方針ほうしん

まず、なぜ外積がいせきで $\sin θ$ が現あらわれるかを図形ずけいから見みます。そのあと、成分表示せいぶんひょうじがなぜこの形かたちになるかを、行列式ぎょうれつしきと面積めんせきの考かんがえ方かたから整理せいりします。

data/lecture/math/vector/ベクトルと内積-講義.n.md data/lecture/math/linear-algebra/行列式-講義.n.md

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

平面へいめんでは、2 本ほんのベクトルが平行へいこうなら面積めんせきは 0 で、直交ちょっこうに近ちかいほど面積めんせきは大おおきくなります。だから外積がいせきの大おおきさに $\sin θ$ が入はいるのは自然しぜんです。

また、面積めんせきだけでは「どちら向むきの回転かいてんか」が分わかりません。そこで 3 次元じげんでは、その面めんに垂直すいちょくなベクトルにして、右手系みぎてけいで向むきを固定こていします。

厳密げんみつな説明せつめい

1. なぜ $\sin θ$ か

平行四辺形へいこうしへんけいの面積めんせきは、底辺ていへん $| \vec{a} |$ と高たかさ $| \vec{b} | \sin θ$ の積せきです。したがって

面 積 / め ん せ き] [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")] = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ

となります。外積がいせきは、この面積めんせきを大おおきさとして持もつベクトルだと考かんがえられます。

2. なぜ向むきを垂直すいちょくに取とるのか

2 本ほんのベクトルが作つくる面めんそのものは 2 次元じげんの情報じょうほうです。それを 1 本ほんのベクトルで表あらわすには、その面めんに垂直すいちょくな向むきを採用さいようするのが自然しぜんです。こうすると、回転かいてんの向むきまで含ふくめて 1 本ぽんに圧縮あっしゅくできます。

3. なぜこの成分表示せいぶんひょうじになるのか

標準基底ひょうじゅんきてい $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ に関かんして

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

とします。

外積がいせき $\vec{a} \times \vec{b}$ は

$\vec{a}$ と垂直すいちょく
$\vec{b}$ と垂直すいちょく
大おおきさが面積めんせき

を満みたすベクトルでなければいけません。

ここで $\vec{e_{1}}$ 方向ほうこうの成分せいぶんは、 $y z$ 平面へいめんへの射影しゃえいが作つくる符号付ふごうつき面積めんせきになってほしいので、

a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}

になります。これは 2×2 の行列式ぎょうれつしき

| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} |

です。ほかの成分せいぶんも同様どうように考かんがえると、

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

となります。

4. 外積がいせきと直交ちょっこう

成分表示せいぶんひょうじから直接ちょくせつ計算けいさんすると、

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0, (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0

です。したがって外積がいせきは、ほんとうに 2 本ほんのベクトルの両方りょうほうに垂直すいちょくです。

別べつの見方みかた

幾何的きかてきな見方みかた

外積がいせきは、面積めんせきと向むきを 1 本ぽんのベクトルにまとめたものです。

代数的だいすうてきな見方みかた

外積がいせきの各成分かくせいぶんは、行列式ぎょうれつしきで書かかれる符号付ふごうつき面積めんせきです。

物理的ぶつりてきな見方みかた

回転かいてんの向むきや、面めんを貫つらぬく向むきを表あらわすので、角運動量かくうんどうりょう、トルク、ローレンツ力りょく、ビオ・サバールの法則ほうそくで自然しぜんに現あらわれます。

見分みわけ方かた

面積めんせき、法線ほうせん、回転かいてん、トルク、ローレンツ力りょくが出でたら、外積がいせきを疑うたがいます。
同おなじ向むき成分せいぶんを見みるなら内積ないせき、面めんに垂直すいちょくな向むきや面積めんせきを見みるなら外積がいせきです。

どこまで成なり立たつか

ここで扱あつかった外積がいせきは、3 次元じげんのユークリッド空間くうかんを前提ぜんていにしています。2 次元じげんでは面積めんせきは符号付ふごうつきの数すうとして扱あつかうことが多おおく、高次元こうじげんでは外積がいせきそのものより外微分がいびぶんや外積代数がいせきだいすうの考かんがえ方かたが自然しぜんになります。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

一言ひとことでいうと

外積がいせきは、2 本ほんのベクトルが作つくる面積めんせきと向むきを 1 本ぽんのベクトルとして表あらわす道具どうぐです。