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ガウスの法則の基本
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ガウスの法則の基本
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導入
この講義で最重要なのは、ガウスの法則を「電荷と電場の流束を結ぶ基本法則」として理解し、対称性があるときの計算の起点として使えるようにすることです。
電磁気で混乱しやすいのは、ガウスの法則が「いつでも正しい」ことと、「いつでもすぐに E を解ける」ことを混同することです。ここでは、その違いを明確にします。
用語と定義
電気流束 とは、面を貫く電場の総量を表す量です。
\Phi_E=\int \vec E\cdot d\vec S
ガウスの法則 は、
\oint \vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}
です。
直感的な説明
電場の線が面をどれだけ貫くかを見ると、その面の中にどれだけ電荷があるかとつながります。面の形を変えても、中の電荷が同じなら、閉じた面を通る総量は変わりません。
厳密な説明
1. なぜ流束を \vec E\cdot d\vec S で測るのか
面積ベクトル d\vec S は、面に垂直で大きさが小面積 dS です。したがって
\vec E\cdot d\vec S=E\,dS\cos\theta
は、その面を垂直に貫く電場の成分だけを数えています。平行な成分は面を通り抜けないので、流束に寄与しません。
2. ガウスの法則の意味
ガウスの法則
\oint \vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}
は、閉曲面を貫く流束が、その中にある電荷 Q_{\mathrm{enc}} だけで決まることを表しています。外側の電荷は電場を作りますが、入る線と出る線が打ち消し合うので、流束の総和には効きません。
3. 平面対称での使い方
面電荷密度 \sigma の無限平面を考えます。面積 S の薄い円柱をガウス面に取ると、側面では電場が平行なので流束は 0 です。よって
2ES=\frac{\sigma S}{\varepsilon_0}
となり、
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
です。
ここで本質なのは、対称性のおかげで「上面でも下面でも E の大きさが同じ」「向きが面に垂直」と言えることです。これが言えないなら、ガウスの法則は正しくても、E を簡単には求められません。
4. 球対称での使い方
点電荷 Q を中心にもつ半径 r の球面を取ると、球面のどこでも E の大きさが同じで、向きは法線と一致します。したがって
E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}
より
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}
です。これはクーロンの法則の場としての書き方と一致します。
見分け方
- 球対称、円筒対称、平面対称があるなら、まずガウスの法則を疑います。
- 電場の向きと大きさを、面の外へ出せるかどうかを先に確認します。
- 対称性が弱いなら、ガウスの法則そのものより、クーロンの法則や別の方法を考えます。
どこまで成り立つか
ガウスの法則はいつでも正しい基本法則です。しかし E を簡単に求める計算道具として強いのは、強い対称性があるときです。対称性が足りない場合、積分形を書けても未知の E を面積分の外へ出せません。
別の見方
対称性から場を出す見方
球対称、円筒対称、平面対称の問題で E を出す道具として使います。
最終形
\boxed{\oint \vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}}
一言でいうと
- ガウスの法則は、閉曲面を貫く電場の総量を内側の電荷と結ぶ法則で、対称性があるときに電場を求める起点として強力です。