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ビオ・サバールの法則の基本
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ビオ・サバールの法則の基本
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導入
この講義で最重要なのは、ビオ・サバールの法則を「小さい電流要素が作る磁場を足し合わせる」見方として理解し、対称性が弱い場合の起点にすることです。
アンペールの法則は対称性が強いときに強力ですが、電流の形が曲がっていたり有限だったりすると、そのままでは B を取り出しにくいことがあります。そこでビオ・サバールの法則が出発点になります。
用語と定義
ビオ・サバールの法則 は、
d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times \hat r}{r^2}
です。
直感的な説明
電流が流れる導線を、小さい電流要素の集まりと考えます。それぞれが少しずつ磁場を作るので、その寄与を全部足し合わせれば全体の磁場が出ます。
厳密な説明
1. なぜ外積が出るのか
d\vec l\times \hat r
は、電流要素 d\vec l と観測点への方向 \hat r の両方に垂直な向きを与えます。これは右ねじの法則に一致し、磁場が電流のまわりを巻く向きになることを表しています。
また大きさは
|d\vec l\times \hat r|=dl\sin\theta
なので、観測点へ向かう方向に平行な成分は効かず、垂直な成分だけが磁場を作ることが分かります。
2. 長い直線電流への適用
長い直線電流から距離 a の点を考えます。ここで導線に沿う座標を x とすると
r=\sqrt{a^2+x^2},\qquad \sin\theta=\frac{a}{r}
だから
dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,dl\sin\theta}{r^2}
=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,a\,dx}{(a^2+x^2)^{3/2}}
です。これを x=-\infty から \infty まで積分すると
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}
を得ます。これはアンペールの法則で得た結果と一致します。
見分け方
- 電流の形が具体的で、対称性が弱いならビオ・サバールの法則を起点にします。
- 円形電流、有限直線導線、円弧などでは、まず電流要素に分ける見方が有効です。
- 対称性が十分に強いなら、アンペールの法則のほうが計算は短くなります。
どこまで成り立つか
ここでは定常電流を前提にしています。また積分で磁場を求めるには、向きと大きさの両方を丁寧に追う必要があります。
別の見方
形から磁場を積み上げる見方
電流の形が具体的で、アンペールの法則では対称性が足りないときの起点です。
最終形
\boxed{d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times \hat r}{r^2}}
一言でいうと
- ビオ・サバールの法則は、電流要素の寄与を足し合わせて磁場を求める法則で、対称性が弱い場合の起点になります。