厳密な説明
1. 運動エネルギー密度
線密度を \rho とし、長さ dx の微小部分を見ます。その質量は
dm=\rho\,dx
です。
上下方向の速さは
\frac{\partial y}{\partial t}
なので、この部分の運動エネルギーは
dK=\frac12 dm\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2=\frac12 \rho \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 dx
です。したがって運動エネルギー密度は
u_K=\frac12 \rho \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2
です。
2. 弾性エネルギー密度
弦が傾くと、もとの水平な長さ dx より実際の長さは少し長くなります。ピタゴラスの定理から
ds=\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}\,dx
です。傾きが小さいとき
\sqrt{1+\epsilon}\approx 1+\frac{\epsilon}{2}
を使うと、
ds-dx \approx \frac12 \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 dx
です。
張力を T とすると、この伸びに蓄えられる弾性エネルギーは
dU \approx T(ds-dx)=\frac12 T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 dx
となるので、弾性エネルギー密度は
u_U=\frac12 T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2
です。
3. 全エネルギー密度
したがって全エネルギー密度は
\boxed{u=\frac12 \rho \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2+\frac12 T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}
です。
4. 正弦波で確かめる
いま
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)
とします。すると
\frac{\partial y}{\partial t}=A\omega \sin(kx-\omega t),\qquad \frac{\partial y}{\partial x}=-Ak\sin(kx-\omega t)
なので、
u_K=\frac12 \rho A^2\omega^2\sin^2(kx-\omega t)
u_U=\frac12 T A^2k^2\sin^2(kx-\omega t)
です。
data/lecture/physics/waves/波動方程式の基本-講義.n.md
波動方程式から v^2=T/\rho、また正弦波では v=\omega/k なので
Tk^2=\rho \omega^2
です。よって
u_K=u_U=\frac12 \rho A^2\omega^2\sin^2(kx-\omega t)
となり、
u=\rho A^2\omega^2\sin^2(kx-\omega t)
です。
5. 時間平均と強さ
\sin^2 の時間平均は 1/2 なので、
\langle u\rangle=\frac12 \rho A^2\omega^2
です。したがって平均的なエネルギー密度は A^2 に比例します。
波が速さ v で進むなら、単位時間に運ばれるエネルギーはおおよそ
P \sim \langle u\rangle v
で見積もれます。これが強度や音の大きさの議論へつながります。
6. 音波での見方
data/lecture/physics/waves/音波の基本-講義.n.md
音波でも同じく、圧力の変化と粒子速度の運動を通じてエネルギーが伝わります。高校ではここを詳しく計算しないことが多いですが、強い音ほどエネルギー流れが大きい、という理解は共通です。