厳密な説明
1. 弦の微小部分に運動方程式を立てる
張力を T、線密度を \rho とします。x から x+\Delta x までの微小部分を取ると、質量は
\rho \Delta x
です。
変位が小さいとして、張力の大きさはほぼ一定で、向きだけが少しずれるとみなします。すると y 方向の合力は
T\sin\theta(x+\Delta x)-T\sin\theta(x)
です。
小さい角度では \sin\theta \approx \tan\theta なので、
\sin\theta \approx \frac{\partial y}{\partial x}
とみなせます。したがって合力は
T\left(\frac{\partial y}{\partial x}(x+\Delta x,t)-\frac{\partial y}{\partial x}(x,t)\right)
となります。
これを \Delta x で割って極限を取ると、
T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
が単位長さあたりの上向き力です。よって運動方程式
\rho \Delta x\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\Delta x
を得ます。\Delta x を消して
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{T}{\rho}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
です。
ここで
v=\sqrt{\frac{T}{\rho}}
とおけば、
\boxed{\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}}
となります。
2. 進行波がこの方程式を満たすことを確かめる
いま
y(x,t)=f(x-vt)
という形を考えます。これは、時刻が t だけ進むと形がそのまま右へ vt だけ移る関数です。
このとき連鎖律で
\frac{\partial y}{\partial t}=-vf'(x-vt),\qquad \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2f''(x-vt)
また
\frac{\partial y}{\partial x}=f'(x-vt),\qquad \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=f''(x-vt)
なので、
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
が成り立ちます。したがって任意の形の進行波は波動方程式の解です。
3. 定常波も同じ方程式の解
data/lecture/physics/waves/定常波の基本-講義.n.md
右向きの波 f(x-vt) と左向きの波 g(x+vt) の和
y(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)
も線形性により解です。ここで特に
y_1=A\sin(kx-\omega t),\qquad y_2=A\sin(kx+\omega t)
を足すと、
y=2A\sin kx\cos\omega t
となり、節と腹が固定された定常波が得られます。
4. 微分方程式としての見方
data/lecture/math/calculus/二階線形微分方程式の基本-講義.n.md
空間と時間の両方に依存するので、普通の 2 階微分方程式より 1 段広い世界にいます。ただし
y(x,t)=X(x)T(t)
のように変数分離をすると、空間側と時間側に 2 階微分方程式が現れます。これが固有振動や共鳴の議論につながります。