連分数れんぶんすう展開てんかい

date2026-04-01description実数を整数の連鎖的な割り算で表現する—連分数の定義・収束分数の意味・ユークリッド互除法との双対性・無理数の循環性を整理する。prerequisitesユークリッドの互除法と一次不定方程式 / 整数の性質の基本 / 有理数と無理数type講義statusactive

mathalgebranumber-theoryundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、連分数れんぶんすうはユークリッド互除法ごじょほうを「逆ぎゃくから読よむ」ものであり、実数じっすうを有理数ゆうりすうで近似きんじするときの「最良近似さいりょうきんじ」を与あたえることである。

$\sqrt{2}$ 、 $π$ 、 $e$ といった無理数むりすうを分数ぶんすうで近似きんじするとき、「分母ぶんぼがこの大おおきさ以下いかでこれ以上いじょう近ちかい分数ぶんすうはない」という最良近似さいりょうきんじが系統的けいとうてきに得えられる。これが連分数れんぶんすうの威力いりょくである。

用語ようごと定義ていぎ

連分数れんぶんすうContinued fraction

連分数れんぶんすうContinued fractionとは、以下いかの形かたちの表現ひょうげんである：

x = a_{0} + [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"cfrac\")")] 1 a_{1} + [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"cfrac\")")] 1 a_{2} + [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"cfrac\")")] 1 a_{3} + \dots

記法きほう： $x = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots]$

ここで $a_{0} \in Z$ 、 $a_{i} \in Z_{> 0}$ （ $i [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 1$ ）。各かく $a_{i}$ を部分商ぶぶんしょう（partial quotient）という。

「連れん」という命名めいめい：分数ぶんすうの中なかにさらに分数ぶんすうが連れんなる構造こうぞうから命名めいめい。continued（続つづく）の訳やく。

収束分数しゅうそくぶんすうConvergent

$n$ 番目ばんめの収束分数しゅうそくぶんすうConvergent（漸近分数ぜんきんぶんすうとも）は

\frac{p_{n}}{q_{n}} = [a_{0}; a_{1}, \dots, a_{n}]

有限ゆうげんで打うち切きった連分数れんぶんすうの値ちであり、 $x$ への最良有理近似さいりょうゆうりきんじを与あたえる。

連分数れんぶんすうの分類ぶんるい

種類しゅるい	定義ていぎ	例れい
有限ゆうげん連分数れんぶんすう	$a_{i} = 0$ （ $i > N$ ）で打うち切きれる	有理数ゆうりすうのみ
無限むげん連分数れんぶんすう（非循環ひじゅんかん）	部分商ぶぶんしょうが非周期的ひしゅうきてき	$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, \dots]$
無限むげん連分数れんぶんすう（循環じゅんかん）	部分商ぶぶんしょうが周期的しゅうきてき	$\sqrt{2} = [1; \overline{2}]$ 、 $\sqrt{3} = [1; \overline{1, 2}]$

基本定理きほんていり：実数じっすう $x$ が無理数むりすうであるための必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけんは、連分数れんぶんすう展開てんかいが無限むげんに続つづくことである。また $x$ が2次無理数にじむりすう（ $a x^{2} + b x + c = 0$ の有理係数ゆうりけいすう解かい）であることと循環連分数じゅんかんれんぶんすうになることは同値どうちである（ラグランジュの定理ていり）。

方針ほうしん

有理数ゆうりすうの場合ばあいはユークリッド互除法ごじょほうの商しょうの列れつがそのまま連分数れんぶんすうの部分商ぶぶんしょうになる。無理数むりすうの場合ばあいは整数部分せいすうぶぶんを取とり続つづけるアルゴリズムで展開てんかいする。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 有理数ゆうりすうの連分数れんぶんすう展開てんかい（ユークリッド互除法ごじょほうとの双対そうつい）

$p / q$ （ $p, q \in Z$ 、 $q > 0$ ）の展開てんかい：

p = a_{0} q + r_{1} ⟹ a_{0} = ⌊ p / q ⌋

q = a_{1} r_{1} + r_{2} ⟹ a_{1} = ⌊ q / r_{1} ⌋

r_{1} = a_{2} r_{2} + r_{3} ⟹ a_{2} = ⌊ r_{1} / r_{2} ⌋

余あまりが 0 になったところで終了しゅうりょう。ユークリッド互除法ごじょほうの余あまりの列れつが逆数ぎゃくすうで積つみ上あがった構造こうぞうになっている。

例れい： $43 / 30$ を展開てんかいする。

43 = 1 \cdot 30 + 13 ⟹ a_{0} = 1

30 = 2 \cdot 13 + 4 ⟹ a_{1} = 2

13 = 3 \cdot 4 + 1 ⟹ a_{2} = 3

4 = 4 \cdot 1 + 0 ⟹ a_{3} = 4

したがって $43 / 30 = [1; 2, 3, 4]$ 。

2. 無理数むりすうの連分数れんぶんすう展開てんかい

$x = \sqrt{2}$ の場合ばあい：

a_{0} = ⌊ \sqrt{2} ⌋ = 1

x_{1} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1, a_{1} = ⌊ \sqrt{2} + 1 ⌋ = 2

x_{2} = \frac{1}{(\sqrt{2} + 1) - 2} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1 ⟹ a_{2} = 2, \dots

以下いか同様どうように $a_{i} = 2$ （ $i [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 1$ ）が続つづく。 $\sqrt{2} = [1; \overline{2}]$ 。

3. 収束分数しゅうそくぶんすうの漸化式ぜんかしき

p_{- 1} = 1, p_{0} = a_{0}; p_{n} = a_{n} p_{n - 1} + p_{n - 2}

q_{- 1} = 0, q_{0} = 1; q_{n} = a_{n} q_{n - 1} + q_{n - 2}

隣接りんせつする収束分数しゅうそくぶんすうの差さ：

p_{n} q_{n - 1} - p_{n - 1} q_{n} = (- 1)^{n - 1}

この恒等式こうとうしきは一次不定方程式いちじふていほうていしき $a x + b y = 1$ の解かいを自動的じどうてきに与あたえる。

4. 最良近似さいりょうきんじの意味いみ

$p / q$ が $x$ の収束分数しゅうそくぶんすうであるならば、 $q^{'} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] q$ を満みたす任意にんいの有理数ゆうりすう $p^{'} / q^{'}$ （ $p^{'} / q^{'} \neq p / q$ ）に対たいして

| x - p / q | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] | x - p^{'} / q^{'} |

つまり収束分数しゅうそくぶんすうは「分母ぶんぼがこれ以下いかの分数ぶんすうの中なかで最良さいりょうの近似きんじ」を与あたえる。

5. 黄金比おうごんひと連分数れんぶんすう

ϕ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = [1; \overline{1}] = 1 + [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"cfrac\")")] 1 1 + [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"cfrac\")")] 1 1 + \dots

部分商ぶぶんしょうがすべて 1 であることから、黄金比おうごんひは「有理数ゆうりすうで最もっとも近似きんじしにくい」無理数むりすうである（最悪近似数さいあくきんじすう）。フィボナッチ数列すうれつの隣接りんせつ比ひが黄金比おうごんひに収束しゅうそくするのは、フィボナッチ数列すうれつが $[1; \overline{1}]$ の収束分数しゅうそくぶんすうの分子ぶんし・分母ぶんぼの列れつそのものだからである。

見分みわけ方かた

有理数ゆうりすうの近似きんじ問題もんだい → 収束分数しゅうそくぶんすうが最良近似さいりょうきんじを与あたえる
「分母ぶんぼ $[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] N$ で最もっとも近ちかい分数ぶんすうは？」→ 連分数れんぶんすう展開てんかいして収束分数しゅうそくぶんすうを列挙れっきょする
循環連分数じゅんかんれんぶんすう → 2次無理数にじむりすう（ $\sqrt{n}$ 型がた）
$a x + b y = 1$ を解とく → 隣接りんせつ収束分数しゅうそくぶんすうの差さ $p_{n} q_{n - 1} - p_{n - 1} q_{n} = (- 1)^{n - 1}$ を利用りよう

どこまで成なり立たつか

連分数れんぶんすう展開てんかいは実数じっすうに適用てきようできる。複素数ふくそすうへの一般化いっぱんか（ガウス整数せいすうの連分数れんぶんすう）も存在そんざいするが複雑ふくざつになる。収束しゅうそくの速はやさは部分商ぶぶんしょうの大おおきさに依存いぞんし、部分商ぶぶんしょうが大おおきいほど速はやく収束しゅうそくする。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots], a_{i} = ⌊ x_{i} ⌋, x_{i + 1} = \frac{1}{x_{i} - a_{i}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] p_{n} = a_{n} p_{n - 1} + p_{n - 2}, q_{n} = a_{n} q_{n - 1} + q_{n - 2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] p_{n} q_{n - 1} - p_{n - 1} q_{n} = (- 1)^{n - 1}

一言ひとことでいうと

連分数れんぶんすうはユークリッド互除法ごじょほうを逆ぎゃくから読よむ表現ひょうげんであり、有理数ゆうりすうによる最良近似さいりょうきんじの系統的けいとうてきな構成こうせい法ほうを与あたえる。