衝突しょうとつと運動量保存うんどうりょうほぞん

date2026-03-31description衝突では内力の詳細を問わず系全体の前後の運動量を比べる—運動量保存則と反発係数の組み合わせ方、弾性・非弾性の使い分けを整理する。type講義statusactive

physicsmechanicslecture

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、衝突しょうとつでは接触力せっしょくりょくの大おおきさを追おうのではなく、系けい全体ぜんたいの前後ぜんごの運動量うんどうりょうを比くらべることである。

衝突しょうとつ中ちゅうには内力ないりょくが極きわめて大おおきくなるが、その詳細しょうさいは不要ふようである。系けい全体ぜんたいを見みると、内力ないりょくは対ついになって打消うちけしあい、外力がいりょくの力積りきせきが十分じゅうぶん小ちいさい場合ばあいには運動量保存則うんどうりょうほぞんそくが成立せいりつする。

data/lecture/physics/mechanics/運動量と力積-講義.n.md

用語ようごと定義ていぎ

運動量保存則うんどうりょうほぞんそくConservation of momentum（衝突しょうとつにおける適用てきよう）

外力がいりょくの力積りきせきが無視むしできるとき、系けいの全運動量ぜんうんどうりょうは衝突しょうとつ前後ぜんごで一定いっていに保たもたれる。

なぜ「外力がいりょくの力積りきせきが小ちいさい」が条件じょうけんか：衝突しょうとつ時間じかん $Δ t$ は極きわめて短みじかい。外力がいりょく（重力じゅうりょくなど）は有限ゆうげんの大おおきさなので、力積りきせき $F_{外} Δ t$ は無視むしできる程度ていどに小ちいさくなる。これが衝突しょうとつで運動量保存則うんどうりょうほぞんそくが使つかえる理由りゆうである。

導出どうしゅつ先さき参照さんしょう：

data/lecture/physics/mechanics/保存則の導出-講義.n.md

反発係数はんぱつけいすうCoefficient of restitution

反発係数はんぱつけいすうCoefficient of restitution（反発はんぱつ係数けいすう、記号きごう $e$ ）とは、衝突後しょうとつごの離はなれる相対速度そうたいそくどの大おおきさと衝突前しょうとつまえの近ちかづく相対速度そうたいそくどの大おおきさの比ひである。

e = \frac{v_{2} - v_{1}}{u_{1} - u_{2}} (0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] e [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 1)

命名めいめいと科学史かがくし：Newton が 1687年ねんの Principia で導入どうにゅうした。当とう初しょは「衝突しょうとつの硬かたさ」を定量化ていりょうかする量りょうとして扱あつかわれた。 $e = 1$ が完全弾性衝突かんぜんだんせいしょうとつ、 $e = 0$ が完全非弾性衝突かんぜんひだんせいしょうとつ（合体がったい）に対応たいおうする。

なぜ「相対速度そうたいそくどの比ひ」か：衝突しょうとつの前後ぜんごで各物体かくぶったいの絶対速度ぜったいそくどは異ことなるが、物体ぶったいが「どれだけ跳はね返かえるか」は慣性系かんせいけいの選えらび方かたによらない。相対速度そうたいそくどは座標変換ざひょうへんかんに対たいして不変ふへんであるため、 $e$ は物理的ぶつりてきな意味いみを持もつ。

弾性衝突だんせいしょうとつと非弾性衝突ひだんせいしょうとつの区別くべつ

	弾性衝突だんせいしょうとつElastic collision	非弾性衝突ひだんせいしょうとつInelastic collision	完全非弾性衝突かんぜんひだんせいしょうとつPerfectly inelastic
反発係数はんぱつけいすう	$e = 1$	$0 < e < 1$	$e = 0$
力学的りきがくてきエネルギー	保存ほぞんされる	減少げんしょう（熱ねつ等などに散逸さんいつ）	最大さいだい損失そんしつ
運動量うんどうりょう	保存ほぞん	保存ほぞん	保存ほぞん
例れい	硬かたい球きゅうの衝突しょうとつ（理想りそう）	通常つうじょうの衝突しょうとつ	粘土ねんどの合体がったい

混同こんどうすると誤あやまること： $e = 1$ でも運動量保存則うんどうりょうほぞんそくは使つかう。エネルギー保存ほぞんだけを使つかうと未知数みちすうが解とけない（方程式ほうていしきが 1 本ほん足たりない）。

方針ほうしん

系けいと方向ほうこうを決きめる：どの物体ぶったいを系けいとし、どの方向ほうこうで運動量保存則うんどうりょうほぞんそくを立式りっしきするかを確認かくにんする
未知数みちすうを数かぞえる：1 次元じげんで 2 物体ぶったいなら未知数みちすう 2 個こ、方程式ほうていしきも 2 本ほん必要ひつよう
補足条件ほそくじょうけんを選えらぶ：弾性衝突だんせいしょうとつならエネルギー保存ほぞん、一般いっぱんなら $e$ の式しきを追加ついかする

厳密げんみつな説明せつめい

1. 1 次元じげん衝突しょうとつの基本式きほんしき

2 物体ぶったいの 1 次元じげん衝突しょうとつを考察こうさつする。衝突前しょうとつまえの速度そくどを $u_{1}, u_{2}$ 、衝突後しょうとつごを $v_{1}, v_{2}$ とする。

運動量保存則うんどうりょうほぞんそく（常つねに成立せいりつ）：

m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} \dots (1)

反発係数はんぱつけいすうの式しき（衝突しょうとつの種類しゅるいに依存いぞん）：

v_{2} - v_{1} = e (u_{1} - u_{2}) \dots (2)

適用てきよう条件じょうけん：外力がいりょくの力積りきせきが無視むしできること（衝突しょうとつ時間じかんが十分じゅうぶん短みじかいこと）。

2. $v_{1}, v_{2}$ の解かい（一般式いっぱんしき）

$(1) (2)$ を $v_{1}, v_{2}$ について連立れんりつして解とくと

v_{1} = \frac{(m_{1} - e m_{2}) u_{1} + (1 + e) m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

v_{2} = \frac{(m_{2} - e m_{1}) u_{2} + (1 + e) m_{1} u_{1}}{m_{1} + m_{2}}

3. 弾性衝突だんせいしょうとつの別解べっかい（エネルギーを使用しようするルート）

$e = 1$ のとき、(2) の代かわりに力学的りきがくてきエネルギー保存ほぞん

\frac{1}{2} m_{1} u_{1^{2}} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2^{2}} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1^{2}} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2^{2}} \dots (3)

を使用しようしてもよい。 $(1) (3)$ から解とく方法ほうほうと $(1) (2)$ から解とく方法ほうほうは同値どうちであり、計算量けいさんりょうは $(1) (2)$ の方ほうが少すくない。

各かくルートの選択基準せんたくきじゅん： $e$ が与あたえられているならば $(1) (2)$ 、「弾性衝突だんせいしょうとつ」と明記めいきされていても $e = 1$ を $(2)$ に代入だいにゅうするのが速はやい。エネルギー保存ほぞんの式しき $(3)$ は $v_{1^{2}}, v_{2^{2}}$ の形かたちで非線形ひせんけいになるため、連立れんりつが煩雑はんざつになる場合ばあいがある。

4. 具体例ぐたいれい：同質量どうしつりょうの弾性衝突だんせいしょうとつ

質量しつりょう $m$ の 2 球きゅうを考察こうさつする。球きゅう A が速度そくど $u$ で静止せいししている球きゅう B に正面衝突せいめんしょうとつする（ $e = 1$ ）。

ルート 1： $(1) (2)$ を使用しようする。

m u + 0 = m v_{1} + m v_{2} ⟹ v_{1} + v_{2} = u \dots (1^{'})

v_{2} - v_{1} = 1 \cdot (u - 0) = u \dots (2^{'})

$(1^{'}) + (2^{'})$ ： $2 v_{2} = 2 u ⟹ v_{2} = u$

$(1^{'}) - (2^{'})$ ： $2 v_{1} = 0 ⟹ v_{1} = 0$

→ A が停止ていしし、B が速度そくど $u$ で飛とび出だす（速度そくどの完全交換かんぜんこうかん）。

ルート 2：一般式いっぱんしき（ §2 の結果けっか）に $m_{1} = m_{2} = m$ 、 $e = 1$ 、 $u_{2} = 0$ を代入だいにゅうする。

v_{1} = \frac{(m - m) u + 0}{2 m} = 0, v_{2} = \frac{0 + 2 m u}{2 m} = u

同おなじ答こたえを得える。一般式いっぱんしきの検証けんしょうにもなる。

5. 具体例ぐたいれい：完全非弾性衝突かんぜんひだんせいしょうとつ（ $e = 0$ ）

同おなじ設定せっていで $e = 0$ （合体がったい）。(2) から $v_{2} - v_{1} = 0$ 、すなわち $v_{1} = v_{2} \equiv v$ 。(1) から

m u = 2 m v ⟹ v = \frac{u}{2}

力学的りきがくてきエネルギーの変化へんか：

Δ K = \frac{1}{2} (2 m) {(\frac{u}{2})}^{2} - \frac{1}{2} m u^{2} = \frac{m u^{2}}{4} - \frac{m u^{2}}{2} = - \frac{m u^{2}}{4}

元もとの運動うんどうエネルギーの半分はんぶんが失うしなわれ（熱ねつや変形へんけいに散逸さんいつ）、運動量うんどうりょうは保存ほぞんされている。

見分みわけ方かた

衝突しょうとつ時間じかんが短みじかく外力がいりょくの力積りきせきが小ちいさい → 運動量保存則うんどうりょうほぞんそくを使つかう
「弾性衝突だんせいしょうとつ」と明記めいき → $e = 1$ を代入だいにゅう（またはエネルギー保存ほぞんを追加ついか）
反発係数はんぱつけいすう $e$ が与あたえられている → $(1) (2)$ を連立れんりつ
「合体がったい」「完全非弾性かんぜんひだんせい」 → $e = 0$ 、 $v_{1} = v_{2}$ を使用しよう
エネルギー損失そんしつを求もとめる → $Δ K$ を計算けいさん（運動量保存則うんどうりょうほぞんそくと別途べっと計算けいさん）

どこまで成なり立たつか

運動量保存則うんどうりょうほぞんそくは外力がいりょくの力積りきせきが無視むしできる場合ばあいに成立せいりつする。衝突しょうとつ時間じかんが長ながい場合ばあい（ゆっくりとした接触せっしょくなど）や、重力じゅうりょくが大おおきく働はたらく斜面しゃめんでの衝突しょうとつでは注意ちゅういが必要ひつようである。

反発係数はんぱつけいすう $e$ は実験的じっけんてきに定さだまる量りょうであり、速度そくど・温度おんど・変形へんけいの大おおきさに依存いぞんする場合ばあいがある。高校こうこう物理ぶつりでは一定いっていとみなす。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v_{2} - v_{1} = e (u_{1} - u_{2})

一言ひとことでいうと

衝突しょうとつでは運動量保存則うんどうりょうほぞんそくを基本きほんとし、反発係数はんぱつけいすう（または弾性衝突だんせいしょうとつならエネルギー保存ほぞん）を追加ついかして未知数みちすうを決定けっていする。