重心系じゅうしんけいでの衝突しょうとつ

date2026-04-01description実験室系から重心系へ変換して衝突を解析する—CM系の定義・速度変換・弾性衝突での対称性・反発係数との接続を整理する。prerequisites衝突と運動量保存 / 重心の基本 / ベクトルの基本type講義statusactive

physicsmechanicsundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、重心系じゅうしんけい（CM系けい）では全ぜん運動量うんどうりょうが 0 であり、衝突しょうとつの記述きじゅつが著いちじるしく単純たんじゅんになることである。

実験室系じっけんしつけいでは 2 物体ぶったいの速度そくどが非対称ひたいしょうで計算けいさんが煩雑はんざつになる。CM系けいに移うつると2物体にぶったいが等ひとしい重おもみで逆向ぎゃくむきに動うごき、弾性衝突だんせいしょうとつでは「速度そくどの大おおきさが保存ほぞんされ、向むきだけが変かわる」という対称性たいしょうせいが現あらわれる。

用語ようごと定義ていぎ

重心系じゅうしんけいCenter of mass frame

重心系じゅうしんけいCenter of mass frame（CM系けい、質量中心系しつりょうちゅうしんけいとも）とは、系けいの重心じゅうしんが静止せいししている慣性系かんせいけいであり、全ぜん運動量うんどうりょうが 0 の系けいである：

\vec{p_{CM系合}} = \sum_{i} m_{i} \vec{{v^{'}}_{i}} = \vec{0}

「重心系じゅうしんけい」の意義いぎ：運動量うんどうりょうが 0 の系けいでは衝突しょうとつの前後ぜんごで各かく物体ぶったいの運動量うんどうりょうの和わが 0 に保たもたれ、エネルギー条件じょうけんのみから速度そくどを決定けっていできる。

実験室系じっけんしつけいLaboratory frame

実験室系じっけんしつけいLaboratory frame（Lab系けい）とは、実験者じっけんしゃ（または標的ひょうてき）が静止せいししている慣性系かんせいけいである。物理ぶつり現象げんしょうを観測かんそくする通常つうじょうの視点してん。

Lab系けいと CM系けいの比較ひかく

	実験室系じっけんしつけい（Lab）	重心系じゅうしんけい（CM）
全運動量ぜんうんどうりょう	$\vec{P} = m_{1} \vec{v_{1}} + m_{2} \vec{v_{2}} \neq 0$ （一般いっぱん）	$\vec{P^{'}} = \vec{0}$
重心じゅうしんの速度そくど	$\vec{V} = \frac{m_{1} \vec{v_{1}} + m_{2} \vec{v_{2}}}{m_{1} + m_{2}}$	$\vec{V^{'}} = \vec{0}$
衝突しょうとつの記述きじゅつ	非対称ひたいしょう（計算けいさんが複雑ふくざつ）	対称たいしょう（2物体ぶったいが逆向ぎゃくむきに動うごく）
弾性衝突だんせいしょうとつ後ご	速度そくどの計算けいさんが複雑ふくざつ	各かく物体ぶったいの速度そくどの向むきが逆転ぎゃくてんし大おおきさは不変ふへん

方針ほうしん

まず重心速度じゅうしんそくど $\vec{V}$ を計算けいさんする。各かく物体ぶったいの速度そくどから $\vec{V}$ を引ひいて CM系けいの速度そくど $\vec{u_{i}}$ を得える。CM系けいで衝突しょうとつを解析かいせきしたあと、 $\vec{V}$ を足たしてLab系けいへ戻もどす。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

電車でんしゃの中なかでボールを投なげると、電車でんしゃの乗客じょうきゃくには简单かんたんな放物線ほうぶつせんに見みえるが、地上ちじょうの観測者かんそくしゃには複雑ふくざつな軌跡きせきに見みえる。CM系けいは「衝突しょうとつを対称たいしょうに見みる電車でんしゃ」である—重心じゅうしんに乗のって見みると2物体にぶったいが等ひとしく逆向ぎゃくむきに近ちかづき、衝突しょうとつ後ごは等ひとしく逆向ぎゃくむきに離はなれていく。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 速度変換そくどへんかん

重心速度じゅうしんそくど（Lab系けいでの重心じゅうしんの速度そくど）：

\vec{V} = \frac{m_{1} \vec{v_{1}} + m_{2} \vec{v_{2}}}{m_{1} + m_{2}}

CM系けいでの各かく物体ぶったいの速度そくど：

\vec{u_{1}} = \vec{v_{1}} - \vec{V} = \frac{m_{2} (\vec{v_{1}} - \vec{v_{2}})}{m_{1} + m_{2}}

\vec{u_{2}} = \vec{v_{2}} - \vec{V} = \frac{m_{1} (\vec{v_{2}} - \vec{v_{1}})}{m_{1} + m_{2}}

確認かくにん： $m_{1} \vec{u_{1}} + m_{2} \vec{u_{2}} = 0$ （CM系けいでの全運動量ぜんうんどうりょう = 0）。

また $m_{1} | \vec{u_{1}} | = m_{2} | \vec{u_{2}} |$ 、すなわちCM系けいではでは 2 物体ぶったいの運動量うんどうりょうの大おおきさが常つねに等ひとしく逆向ぎゃくむき。

2. 弾性衝突だんせいしょうとつの CM系けいでの解析かいせき

CM系けいでの衝突前しょうとつまえの速度そくどを $\vec{u_{1}}$ 、 $\vec{u_{2}}$ （ $m_{1} \vec{u_{1}} + m_{2} \vec{u_{2}} = 0$ ）とする。

条件じょうけん：

運動量保存うんどうりょうほぞん： $m_{1} \vec{u_{1^{'}}} + m_{2} \vec{u_{2^{'}}} = 0$ （CM系けいでは衝突後しょうとつごも成立せいりつ）
エネルギー保存ほぞん： $\frac{1}{2} m_{1} | \vec{u_{1^{'}}} |^{2} + \frac{1}{2} m_{2} | \vec{u_{2^{'}}} |^{2} = \frac{1}{2} m_{1} | \vec{u_{1}} |^{2} + \frac{1}{2} m_{2} | \vec{u_{2}} |^{2}$

1次元いちじげんの場合ばあい、この 2 条件じょうけんから

u_{1^{'}} = - u_{1}, u_{2^{'}} = - u_{2}

弾性衝突だんせいしょうとつでは CM系けいにおける各かく物体ぶったいの速度そくどの向むきが逆転ぎゃくてんし、大おおきさは変化へんかしない。

Lab系けいに戻もどすと：

v_{1^{'}} = u_{1^{'}} + V = - u_{1} + V = - (v_{1} - V) + V = 2 V - v_{1}

v_{2^{'}} = 2 V - v_{2}

$V = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ を代入だいにゅうすると、衝突しょうとつと運動量保存うんどうりょうほぞんの講義こうぎで導出どうしゅつした一般式いっぱんしきと一致いっちする。

3. 反発係数はんぱつけいすうとの接続せつぞく

反発係数はんぱつけいすう $e$ は CM系けいでの速度そくどの向むきの反転はんてん割合わりあいとして自然しぜんに解釈かいしゃくできる：

e = \frac{| u_{1^{'}} |}{| u_{1} |} = \frac{| u_{2^{'}} |}{| u_{2} |}

$e = 1$ ：弾性衝突だんせいしょうとつ（CM系けいで完全かんぜんな速度そくど反転はんてん）
$e = 0$ ：完全非弾性衝突かんぜんひだんせいしょうとつ（CM系けいで速度そくどが 0 に合体がったい）
$0 < e < 1$ ：非弾性衝突ひだんせいしょうとつ（部分的ぶぶんてきな反転はんてん）

4. CM系けいでのエネルギー損失そんしつ

Lab系けいの全ぜん運動うんどうエネルギーは

K_{Lab} = K_{CM} + \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) V^{2}

ここで $K_{CM} = \frac{1}{2} m_{1} | \vec{u_{1}} |^{2} + \frac{1}{2} m_{2} | \vec{u_{2}} |^{2}$ は CM系けいでの運動うんどうエネルギー（内部ないぶエネルギー）、 $\frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) V^{2}$ は重心じゅうしんの運動うんどうエネルギー（衝突しょうとつで変化へんかしない）。

衝突しょうとつで失うしなわれるエネルギーは CM系けいの $K_{CM}$ の一部いちぶのみ。最大さいだい損失そんしつ（ $e = 0$ ）のとき $K_{CM}$ が全部ぜんぶ失うしなわれる：

Δ K_{max} = K_{CM} = \frac{1}{2} μ | \vec{v_{1}} - \vec{v_{2}} |^{2} (μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}})

$μ$ は換算質量かんさんしつりょうReduced mass（2体問題にたいもんだいの有効ゆうこう質量しつりょう）。

5. 同おなじ質量しつりょうの弾性衝突だんせいしょうとつ（CM系けいの見方みかた）

$m_{1} = m_{2} = m$ のとき $V = \frac{v_{1} + v_{2}}{2}$ 、 $\vec{u_{1}} = \frac{\vec{v_{1}} - \vec{v_{2}}}{2}$ 。

CM系けいで速度そくどが反転はんてんするので、Lab系けいでは速度そくどが交換こうかんされる（ $v_{1^{'}} = v_{2}$ 、 $v_{2^{'}} = v_{1}$ ）ことが直ただちに分わかる。

見分みわけ方かた

2体衝突にたいしょうとつで計算けいさんが複雑ふくざつ → CM系けいに移うつると単純たんじゅんになる
弾性衝突だんせいしょうとつの一般解いっぱんかいを求もとめる → CM系けいでの「速度反転そくどはんてん」から導出どうしゅつする
最大さいだいエネルギー損失そんしつ → $\frac{1}{2} μ | \vec{v_{1}} - \vec{v_{2}} |^{2}$ の公式こうしきを使用しようする
散乱問題さんらんもんだい（入射にゅうしゃ角度かくど・散乱さんらん角度かくど） → CM系けいと Lab系けいの角度かくど変換へんかんを使用しようする

どこまで成なり立たつか

重心系じゅうしんけいの手法しゅほうは、外力がいりょくが無視むしできる（または衝突しょうとつ時間じかんが十分じゅうぶん短みじかい）条件じょうけんで有効ゆうこうである。多体たたい衝突しょうとつや散乱さんらん理論りろんにも同様どうようの考かんがえ方かたが拡張かくちょうできる。

相対論的そうたいろんてき衝突しょうとつでは CM系けい（零れい運動量うんどうりょう系けい）への変換へんかんにローレンツ変換へんかんが必要ひつようになる。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{V} = \frac{m_{1} \vec{v_{1}} + m_{2} \vec{v_{2}}}{m_{1} + m_{2}}, \vec{u_{i}} = \vec{v_{i}} - \vec{V}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 弾 性 衝 突 / だ ん せ い し ょ う と つ] i n C M : \vec{u_{i^{'}}} = - \vec{u_{i}} [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")]

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] Δ K_{max} = \frac{1}{2} μ | \vec{v_{1}} - \vec{v_{2}} |^{2}, μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

一言ひとことでいうと

CM系けいに移うつると全ぜん運動量うんどうりょうが 0 になり、弾性衝突だんせいしょうとつは「CM系けいでの速度そくどの向むきが逆転ぎゃくてんする」の一言ひとことに帰着きちゃくする。